Ângulos 

Classificação dos Ângulos

Os ângulos podem ser classificados de acordo com sua medida:

• Ângulo agudo: Ângulo cuja medida é maior que 0° e menor que 90°.

• Ângulo reto: Ângulo cuja medida é igual a 90°.

• Ângulo obtuso: Ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°.

• Ângulo raso: Ângulo cuja medida é igual a 180°.

Ângulos Congruentes

Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.

Ângulos Adjacentes

Dois ângulos são adjacentes quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum, mas não possuem pontos internos em comum.

Ângulos Complementares e Ângulos Suplementares

• Ângulos complementares: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°.

• Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.

Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV)

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semirretas opostas aos lados do outro. Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

Exemplos Resolvidos sobre Ângulos

1. Classificação de ângulos:

• Exemplo: Classifique o ângulo de 60° quanto à sua medida.

• Resolução: Como 0° < 60° < 90°, o ângulo de 60° é um ângulo agudo.

2. Ângulos congruentes:

• Exemplo: Determine o valor de x, sabendo que os ângulos AÔB e CÔD são congruentes e que AÔB = 3x + 10° e CÔD = 5x - 20°.

• Resolução: Como os ângulos são congruentes, suas medidas são iguais. Então:

• 3x + 10° = 5x - 20° 30° = 2x x = 15°

3. Ângulos adjacentes:

• Exemplo: Na figura abaixo, os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes. Sabendo que AÔB = 40° e AÔC = 70°, determine a medida do ângulo BÔC.

• Resolução: Como os ângulos são adjacentes, a medida do ângulo AÔC é a soma das medidas dos ângulos AÔB e BÔC. Então:

• 70° = 40° + BÔC BÔC = 30°

4. Ângulos complementares e suplementares:

• Exemplo: Determine o complemento e o suplemento de um ângulo de 50°.

• Resolução:

  • Complemento: 90° - 50° = 40°

  • Suplemento: 180° - 50° = 130°

5. Ângulos opostos pelo vértice (OPV):

• Exemplo: Na figura abaixo, as retas r e s se intersectam no ponto O. Sabendo que AÔB = 120°, determine as medidas dos ângulos BÔC, CÔD e DÔA.

• Resolução:

  • BÔC e AÔD são OPV, então BÔC = AÔD = 120°

  • CÔD e AÔB são OPV, então CÔD = AÔB = 120°

  • Como a soma dos ângulos em torno de um ponto é 360°, temos: AÔB + BÔC + CÔD + DÔA = 360° 120° + 120° + 120° + DÔA = 360° DÔA = 0° (ângulo nulo)

PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:

1. Classifique o ângulo de 75°.

   a) Ângulo agudo  

   b) Ângulo reto  

   c) Ângulo obtuso  

   d) Ângulo raso

2. Determine o valor de x, sabendo que os ângulos AÔB e CÔD são congruentes e que AÔB = 4x + 5° e CÔD = 6x - 15°. Explique cada etapa do processo.

3. Dois ângulos são adjacentes e suas medidas são 45° e 30°. Qual é a medida do ângulo formado pela soma desses dois ângulos?

   a) 60°  

   b) 75°  

   c) 90°  

   d) 120°

4. Determine o complemento de um ângulo de 35° e o suplemento de um ângulo de 120°. Mostre o cálculo.

5. As retas r e s se intersectam no ponto O, formando ângulos opostos pelo vértice. Se um dos ângulos mede 110°, quais são as medidas dos outros três ângulos? 

   a) 70°, 110°, 70°  

   b) 110°, 70°, 110°  

   c) 110°, 110°, 110°  

   d) 70°, 70°, 110°

6. Classifique o ângulo de 135°.

   a) Ângulo agudo  

   b) Ângulo reto  

   c) Ângulo obtuso  

   d) Ângulo raso

7. Determine o valor de y, sabendo que os ângulos PÔQ e RÔS são complementares e que PÔQ = 2y + 10° e RÔS = y + 50°. Explique como encontrou a resposta.

8. Dois ângulos são suplementares e um deles mede 85°. Qual é a medida do outro ângulo?

   a) 95°  

   b) 85°  

   c) 105°  

   d) 75°

9. Explique por que dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Use um exemplo com valores específicos para ilustrar sua explicação.

10. Se um ângulo mede 90°, quais são os seus complemento e suplemento?

    a) 0° e 90°  

    b) 45° e 135°  

    c) 90° e 180°  

    d) 0° e 180°