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Razão e Proporção
Razão e proporção são conceitos matemáticos que descrevem a relação entre dois números ou quantidades. Esses conceitos são amplamente utilizados em diversos campos da matemática, da ciência e da vida cotidiana.
Razão:
A razão é a comparação entre dois números ou quantidades. Ela é expressa como uma fração ou quociente dos dois valores. Por exemplo, se temos duas quantidades "a" e "b", a razão de "a" para "b" é escrita como "a/b" ou "a:b". A razão também pode ser simplificada, mantendo a mesma relação entre os números.
Exemplo 1: Se uma sala de aula tem 20 meninos e 30 meninas, a razão de meninos para meninas é 20/30, que pode ser simplificada para 2/3.
Exemplo 2: Se um corredor percorre 10 km em 2 horas, a razão da distância para o tempo é 10/2, que é igual a 5.
Proporção:
A proporção é uma igualdade de duas razões. Quando quatro números estão em proporção, significa que a razão entre o primeiro par de números é igual à razão entre o segundo par de números.
Exemplo 1: Se temos duas proporções, 2/3 = 4/6, significa que a razão de 2 para 3 é igual à razão de 4 para 6.
Exemplo 2: Se um carro percorre 200 km em 4 horas, a proporção entre a distância e o tempo é 200/4 = 50, que também pode ser representada como 50 km/h.
As razões e proporções são ferramentas úteis na resolução de problemas envolvendo quantidades comparáveis. Elas são amplamente aplicadas em matemática financeira, física, química, engenharia e muitas outras áreas. Também são frequentemente usadas em problemas do cotidiano, como em receitas de cozinha, mistura de ingredientes, diluição de substâncias, entre outros.
Divisão em partes proporcionais
A divisão em partes proporcionais é um método para dividir uma quantidade ou um valor em partes, de forma que essas partes mantenham a mesma proporção que os números fornecidos. Esse conceito é útil em várias situações, como a partilha de recursos, distribuição de lucros ou despesas entre várias pessoas ou grupos de forma justa, entre outros cenários.
Suponha que temos uma quantidade total "T" que desejamos dividir em "n" partes proporcionais aos números "a", "b", "c", ..., "n". A divisão em partes proporcionais é calculada da seguinte forma:
Calcule a soma dos números fornecidos: S = a + b + c + ... + n.
Calcule a proporção de cada parte em relação à soma total: R = T / S.
Multiplique cada número dado pelos R: parte_a = a * R, parte_b = b * R, parte_c = c * R, ..., parte_n = n * R.
Dessa forma, as partes resultantes (parte_a, parte_b, parte_c, ..., parte_n) estarão divididas de acordo com as proporções dos números fornecidos (a, b, c, ..., n).
Vamos ver um exemplo para entender melhor:
Exemplo:
Suponha que um prêmio de R$ 2.000,00 deva ser dividido entre três amigos, João, Maria e Pedro, na proporção de suas idades, que são 20, 25 e 30 anos, respectivamente.
Passo 1: Soma dos números das idades: S = 20 + 25 + 30 = 75.
Passo 2: Proporção de cada parte em relação ao total: R = 2000 / 75 ≈ 26,67.
Passo 3: Parte de João = 20 * 26,67 ≈ R$ 533,40.
Parte de Maria = 25 * 26,67 ≈ R$ 666,75.
Parte de Pedro = 30 * 26,67 ≈ R$ 800,85.
Assim, o prêmio de R$ 2.000,00 é dividido entre João, Maria e Pedro nas proporções de suas idades, resultando em valores aproximados de R$ 533,40, R$ 666,75 e R$ 800,85, respectivamente.
Esse método garante que cada parte receba uma quantia proporcional à sua contribuição relativa em relação ao todo.
Regra de três simples e regra de três composta
A regra de três é uma ferramenta matemática utilizada para resolver problemas de proporção entre grandezas relacionadas. Ela é usada para encontrar um valor desconhecido a partir de relações proporcionais estabelecidas entre duas ou mais grandezas conhecidas. Existem dois tipos principais de regra de três: regra de três simples e regra de três composta.
Regra de Três Simples:
A regra de três simples é aplicada quando temos uma proporção entre duas grandezas. Ela é usada para encontrar o valor desconhecido que corresponde a uma das grandezas, com base na relação entre as outras duas grandezas conhecidas.
Existem dois tipos de regra de três simples: direta e inversa.
Regra de Três Simples Direta:
Utilizada quando as grandezas são diretamente proporcionais. Nesse caso, se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção.
Exemplo:
Se um trabalhador ganha por horas trabalhadas. Sabendo que ele ganha 100 reais por 5 horas trabalhadas, quando ele ganharia se passasse a trabalhar 8 horas ?
Diretamente proporcional
5 horas -- 100 reais
8 horas -- X reais
5 . X = 8 . 100
5X = 800
X = 800: 5
X = 160 reais
Portanto, ao trabalhar 8 horas ele passaria a ganhar 160 reais.
Regra de Três Simples Inversa:
Utilizada quando as grandezas são inversamente proporcionais. Nesse caso, se uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção.
Exemplo:
Suponha que 4 operários construam uma parede em 6 dias. Quantos dias levariam 8 operários para construir a mesma parede?
Solução:
Operários (inversamento proporcional) : Dias
4 . 6 = 8 . x
8x = 24
x = 24: 8
x = 3
Portanto, levaria 3 dias para 8 operários construírem a parede.
Regra de Três Composta:
A regra de três composta é utilizada quando temos mais de duas grandezas proporcionais. Nesse caso, usamos a regra de três simples várias vezes para encontrar o valor desconhecido.
Exemplo:
Suponha que 6 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam uma parede em 4 dias. Quantos dias levariam 10 operários, trabalhando 6 horas por dia, para construir a mesma parede?
Nesse caso, usaremos a regra de três composta para encontrar o valor desconhecido (dias).
Porcentagem
A porcentagem é uma forma de representar uma quantidade como uma fração de 100 partes. O símbolo "%" é usado para indicar porcentagens. É uma maneira muito comum de expressar uma parte de um todo ou de comparar quantidades relativas.
Matematicamente, a porcentagem é calculada da seguinte forma:
Porcentagem (%) = (Parte / Total) * 100
Onde:
- Parte é a quantidade que estamos considerando.
- Total é a quantidade total ou o valor com o qual estamos comparando a parte.
Aqui estão alguns conceitos e exemplos relacionados à porcentagem:
Cálculo de uma porcentagem de um valor:
Para calcular uma porcentagem de um valor, basta multiplicar o valor pela porcentagem (em forma decimal ou dividido por 100).
Exemplo 1: Qual é 20% de 300?
Porcentagem = 20/100 = 0.20
20% de 300 = 0.20 * 300 = 60
Encontrar o valor original a partir de uma porcentagem:
Para encontrar o valor original a partir de uma porcentagem, dividimos a porcentagem pelo valor da porcentagem (em forma decimal ou dividido por 100).
Exemplo 2: Se você tem um desconto de 25% em um produto que custa R$ 80, qual é o preço original?
Porcentagem = 25/100 = 0.25
Preço original = 80 / 0.25 = R$ 320
Aumento ou redução percentual:
Podemos calcular o aumento ou redução percentual de uma quantidade comparando-a com a quantidade original.
Exemplo 3: Se um preço aumentou de R$ 50 para R$ 70, qual é o aumento percentual?
Aumento = 70 - 50 = R$ 20
Aumento percentual = (20 / 50) * 100 = 40%
Exemplo 4: Se uma população diminuiu de 5000 para 4500, qual é a redução percentual?
Redução = 5000 - 4500 = 500
Redução percentual = (500 / 5000) * 100 = 10%
A porcentagem é uma ferramenta matemática importante e útil em diversas situações, como em cálculos financeiros, estatísticos, descontos, aumento de preços, taxas de crescimento, entre outros. É uma forma prática de expressar valores relativos em relação a um todo.
Descontos e acréscimos sucessivos
Descontos e acréscimos sucessivos referem-se a situações em que uma quantidade é aumentada ou diminuída em etapas sequenciais. Essas operações são comuns em cenários de compras, vendas, finanças e em muitas outras áreas onde os preços ou valores são ajustados de acordo com determinadas condições.
Descontos sucessivos:
Descontos sucessivos ocorrem quando são aplicados vários descontos em uma determinada quantidade de forma sequencial. Cada desconto é calculado com base no valor original após o desconto anterior.
Suponha que um produto custa R$ 100 e é oferecido com dois descontos sucessivos, um de 20% e outro de 10%. O cálculo seria da seguinte forma:
Desconto 1 (20%): 20% de R$ 100 = 0.20 * 100 = R$ 20
Preço após o Desconto 1 = R$ 100 - R$ 20 = R$ 80
Desconto 2 (10%): 10% de R$ 80 = 0.10 * 80 = R$ 8
Preço final após os Descontos = R$ 80 - R$ 8 = R$ 72
Portanto, o preço final do produto após os descontos sucessivos é R$ 72.
Acréscimos sucessivos:
Acréscimos sucessivos ocorrem quando são adicionados vários aumentos em uma determinada quantidade em sequência. Cada aumento é calculado com base no valor resultante do aumento anterior.
Suponha que um investimento inicial de R$ 1000 sofra dois aumentos sucessivos de 5% e 8%. O cálculo seria da seguinte forma:
Acréscimo 1 (5%): 5% de R$ 1000 = 0.05 * 1000 = R$ 50
Valor após o Acréscimo 1 = R$ 1000 + R$ 50 = R$ 1050
Acréscimo 2 (8%): 8% de R$ 1050 = 0.08 * 1050 = R$ 84
Valor final após os Acréscimos = R$ 1050 + R$ 84 = R$ 1134
Portanto, o valor final após os acréscimos sucessivos é R$ 1134.
É importante notar que a ordem dos descontos ou acréscimos pode afetar o resultado final. Se a ordem for invertida, os valores resultantes podem ser diferentes. Em ambos os casos, as operações de desconto e acréscimo são aplicadas de forma sequencial, um após o outro, até que não haja mais alterações.
Juros Simples
Juros simples é um conceito financeiro básico utilizado para calcular o valor de juros sobre um montante inicial em um período de tempo específico. Diferentemente dos juros compostos, nos juros simples, os juros incidem apenas sobre o valor inicial (capital) e não são somados ao montante principal para calcular os juros do período seguinte.
A fórmula para calcular juros simples é dada por:
Juros (J) = Capital (C) * Taxa de juros (i) * Tempo (t)
Onde:
- Juros (J) é o valor dos juros acumulados no período de tempo.
- Capital (C) é o montante inicial ou principal.
- Taxa de juros (i) é a taxa percentual aplicada ao capital.
- Tempo (t) é o período em que o capital fica aplicado ou o tempo de empréstimo em unidades de tempo (geralmente em anos ou meses).
O montante total (M) ao final do período é calculado somando os juros aos capital inicial:
Montante Total (M) = Capital (C) + Juros (J)
Exemplo:
Suponha que você empreste R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao ano por 3 anos.
Juros (J) = 1000 * 0.05 * 3 = 150
Montante Total (M) = 1000 + 150 = R$ 1.150,00
Portanto, ao final de 3 anos, o montante total será de R$ 1.150,00.
Uma das principais características dos juros simples é que o valor dos juros é constante em cada período. Isso significa que o valor dos juros é o mesmo em todos os anos (ou períodos) do empréstimo, desde que a taxa de juros e o capital permaneçam constantes.
Juros Compostos
Juros compostos é outro conceito financeiro utilizado para calcular os juros sobre um montante inicial em um período de tempo específico. Ao contrário dos juros simples, nos juros compostos, os juros acumulados são somados ao montante principal em cada período, aumentando o valor base para o cálculo dos juros do período seguinte.
A fórmula para calcular juros compostos é dada por:
Montante (M) = Capital (C) * (1 + Taxa de juros (i))^Tempo (t)
Onde:
- Montante (M) é o valor total, incluindo o capital inicial e os juros acumulados.
- Capital (C) é o montante inicial ou principal.
- Taxa de juros (i) é a taxa percentual aplicada ao capital em cada período.
- Tempo (t) é o período em que o capital fica aplicado ou o tempo de empréstimo em unidades de tempo (geralmente em anos ou meses).
Para calcular os juros compostos, é necessário subtrair o capital inicial do montante total para obter o valor dos juros.
Juros Compostos (J) = Montante (M) - Capital (C)
Exemplo:
Suponha que você invista R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano por 3 anos.
Montante (M) = 1000 * (1 + 0.05)^3 ≈ 1000 * 1.157625 ≈ 1157,63
Juros Compostos (J) = 1157,63 - 1000 ≈ R$ 157,63
Portanto, ao final de 3 anos, o montante total será de aproximadamente R$ 1.157,63, e o valor dos juros compostos acumulados será de aproximadamente R$ 157,63.
A principal característica dos juros compostos é que o valor dos juros aumenta a cada período, pois eles são calculados não apenas sobre o montante inicial, mas também sobre os juros acumulados em períodos anteriores. Esse efeito composto pode resultar em um crescimento mais rápido do montante ao longo do tempo em comparação com os juros simples. Os juros compostos são amplamente utilizados em investimentos e empréstimos em instituições financeiras.
EXERCITE!
1. O que é juros simples?
a) Juros que são somados ao montante principal em cada período.
b) Juros que incidem apenas sobre o valor inicial e não são somados ao montante principal.
c) Juros que são aplicados de forma sequencial em descontos sucessivos.
d) Juros que são aplicados de forma sequencial em acréscimos sucessivos.
2. Qual é a fórmula para calcular juros simples?
a) Juros (J) = Capital (C) * Taxa de juros (i) * Tempo (t)
b) Juros (J) = Capital (C) * (1 + Taxa de juros (i))^Tempo (t)
c) Juros (J) = (Parte / Total) * 100
d) Juros (J) = 1000 - Desconto (%)
3. O que é juros compostos?
a) Juros que são somados ao montante principal em cada período.
b) Juros que incidem apenas sobre o valor inicial e não são somados ao montante principal.
c) Juros que são aplicados de forma sequencial em descontos sucessivos.
d) Juros que são aplicados de forma sequencial em acréscimos sucessivos.
4. Qual é a fórmula para calcular juros compostos?
a) Juros (J) = Capital (C) * Taxa de juros (i) * Tempo (t)
b) Juros (J) = Capital (C) * (1 + Taxa de juros (i))^Tempo (t)
c) Juros (J) = (Parte / Total) * 100
d) Juros (J) = 1000 - Desconto (%)
5. O que é porcentagem?
a) Um tipo de juros aplicado em empréstimos.
b) Um desconto aplicado em compras.
c) Uma forma de representar uma quantidade como uma fração de 100 partes.
d) Uma fórmula para calcular acréscimos sucessivos.
6. Qual é a fórmula para calcular o valor de um desconto?
a) Desconto = (Parte / Total) * 100
b) Desconto = 1000 - Juros (%)
c) Desconto = Valor original - Valor com desconto
d) Desconto = Valor com desconto / Valor original
7. O que são descontos sucessivos?
a) Descontos aplicados em sequência em uma compra.
b) Acréscimos aplicados em sequência em um empréstimo.
c) Juros que são somados ao montante principal em cada período.
d) Juros que incidem apenas sobre o valor inicial e não são somados ao montante principal.
8. O que são acréscimos sucessivos?
a) Descontos aplicados em sequência em uma compra.
b) Acréscimos aplicados em sequência em um empréstimo.
c) Juros que são somados ao montante principal em cada período.
d) Juros que incidem apenas sobre o valor inicial e não são somados ao montante principal.
9. Como são calculados os juros compostos?
a) Juros (J) = Capital (C) * Taxa de juros (i) * Tempo (t)
b) Juros (J) = Capital (C) * (1 + Taxa de juros (i))^Tempo (t)
c) Juros (J) = (Parte / Total) * 100
d) Juros (J) = 1000 - Desconto (%)
10. Como são calculados os juros simples?
a) Juros (J) = Capital (C) * Taxa de juros (i) * Tempo (t)
b) Juros (J) = Capital (C) * (1 + Taxa de juros (i))^Tempo (t)
c) Juros (J) = (Parte / Total) * 100
d) Juros (J) = 1000 - Desconto (%)
Respostas:
1. b
2. a
3. a
4. b
5. c
6. c
7. a
8. b
9. b
10. a
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