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Produtos Notáveis
São produtos de expressões algébricas que aparecem com frequência e que possuem padrões que facilitam sua resolução.
Quadrado da Soma de Dois Termos: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da Diferença de Dois Termos: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos: (a + b)(a - b) = a² - b²
Fatoração de Polinômios
É o processo de transformar um polinômio em um produto de fatores mais simples.
Colocando um Fator Comum em Evidência: Identificar um fator comum a todos os termos do polinômio e colocá-lo em evidência.
Exemplo: 2x² + 4x = 2x(x + 2)
Fatoração por Agrupamento: Agrupar os termos do polinômio em grupos que tenham fatores comuns em evidência.
Exemplo: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Fatoração de um Trinômio Quadrado Perfeito: Identificar um trinômio que seja o quadrado da soma ou da diferença de dois termos e aplicar a fórmula correspondente.
Exemplo: x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Fatoração do Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos: Identificar um produto da soma pela diferença de dois termos e aplicar a fórmula correspondente.
Exemplo: x² - 16 = (x + 4)(x - 4)
Outros Casos Envolvendo Fatoração de Polinômios
Existem outros casos de fatoração, como:
Trinômio do tipo x² + bx + c: Procuramos dois números que somados resultem em "b" e multiplicados resultem em "c".
Exemplo: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Trinômio do tipo ax² + bx + c (a ≠ 1): Utilizamos técnicas como o método de completar quadrados ou a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes do trinômio e, em seguida, fatorá-lo.
Equações do 2º Grau
São equações da forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Para resolver equações do 2º grau, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara ou a fatoração, quando possível.
Fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Exemplo:
Resolvendo a equação x² + 3x - 4 = 0 pela fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes x = 1 e x = -4.
Aprofunde com exemplos
Produtos Notáveis
Exemplo 1: Calcule (3 + 2)².
Resolução:
(3 + 2)² = 3² + 2*3*2 + 2²
= 9 + 12 + 4
= 25
Resposta: 25.
Problematização: Calcule (5 - 3)².
Resolução:
(5 - 3)² = 5² - 2*5*3 + 3²
= 25 - 30 + 9
= 4
Resposta: 4.
Exemplo 2: Calcule (7 + 1)(7 - 1).
Resolução:
(7 + 1)(7 - 1) = 7² - 1²
= 49 - 1
= 48
Resposta: 48.
Problematização: Calcule (6 + 4)(6 - 4).
Resolução:
(6 + 4)(6 - 4) = 6² - 4²
= 36 - 16
= 20
Resposta: 20.
Fatoração de Polinômios
Exemplo 3: Fatore 3x² + 9x.
Resolução:
3x² + 9x = 3x(x + 3)
Resposta: 3x(x + 3).
Problematização: Fatore 4y³ + 8y².
Resolução:
4y³ + 8y² = 4y²(y + 2)
Resposta: 4y²(y + 2).
Exemplo 4: Fatore ax + ay + bx + by.
Resolução:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Resposta: (a + b)(x + y).
Problematização: Fatore 2x² + 4x + 3x + 6.
Resolução:
2x² + 4x + 3x + 6 = (2x² + 4x) + (3x + 6) = 2x(x + 2) + 3(x + 2) = (2x + 3)(x + 2)
Resposta: (2x + 3)(x + 2).
Exemplo 5: Fatore x² - 9.
Resolução:
x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
Resposta: (x + 3)(x - 3).
Problematização: Fatore 16y² - 25.
Resolução:
16y² - 25 = (4y)² - 5² = (4y + 5)(4y - 5)
Resposta: (4y + 5)(4y - 5).
Exemplo 6: Fatore x² + 6x + 9.
Resolução:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Resposta: (x + 3)².
Problematização: Fatore y² - 10y + 25.
Resolução:
y² - 10y + 25 = (y - 5)²
Resposta: (y - 5)².
Exemplo 7: Fatore x² + 5x + 6.
Resolução:
Procuramos dois números que somados resultem em 5 e multiplicados resultem em 6: 2 e 3.
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Resposta: (x + 2)(x + 3).
Problematização: Fatore x² - 7x + 12.
Resolução:
Procuramos dois números que somados resultem em -7 e multiplicados resultem em 12: -3 e -4.
x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
Resposta: (x - 3)(x - 4).
Equações do 2º Grau
Exemplo 8: Resolva a equação x² + 3x - 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.
Resolução:
A equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = 3, c = -4.
Calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = 3² - 4(1)(-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
Calculamos as raízes:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (-3 ± √25) / 2(1)
x = (-3 ± 5) / 2
x₁ = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1
x₂ = (-3 - 5) / 2 = -8 / 2 = -4
Resposta: x = 1 e x = -4.
Problematização: Resolva a equação 2x² - 4x - 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.
Resolução:
A equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 2, b = -4, c = -6.
Calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4(2)(-6)
Δ = 16 + 48
Δ = 64
Calculamos as raízes:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (4 ± √64) / 2(2)
x = (4 ± 8) / 4
x₁ = (4 + 8) / 4 = 12 / 4 = 3
x₂ = (4 - 8) / 4 = -4 / 4 = -1
Resposta: x = 3 e x = -1.
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Calcule o valor de (4 + 3)².
a) 25
b) 35
c) 49
d) 56
2. Qual é o resultado de (6 - 2)²?
a) 4
b) 16
c) 36
d) 64
3. Calcule o produto (5 + 1)(5 - 1).
a) 20
b) 24
c) 30
d) 36
4. Qual é a fatoração de 2x² + 4x?
a) x(2x + 4)
b) 2x(x + 2)
c) x(2x + 2)
d) 2(x² + 2x)
5. Fatore a expressão 9x² - 25.
a) (3x + 5)(3x - 5)
b) (3x + 5)(3x + 5)
c) (3x - 5)(3x - 5)
d) (9x + 25)(9x - 25)
6. Qual é a fatoração de x² + 6x + 9?
a) (x + 3)²
b) (x - 3)²
c) (x + 6)(x - 6)
d) (x² + 9x + 6)
7. Fatore a expressão x² + 7x + 12.
a) (x + 4)(x + 3)
b) (x + 6)(x + 2)
c) (x - 4)(x - 3)
d) (x + 7)(x + 12)
8. Resolva a equação x² - 2x - 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.
a) x = 3 e x = 1
b) x = -3 e x = 1
c) x = 2 e x = -1
d) x = 3 e x = -1
9. Qual é a fatoração de 16x² - 25?
a) (4x + 5)(4x - 5)
b) (4x - 5)(4x - 5)
c) (16x + 25)(16x - 25)
d) (4x² + 5)(4x² - 5)
10. Fatore a expressão y² - 4y + 4.
a) (y - 2)²
b) (y + 2)²
c) (y - 4)²
d) (y² - 4)(y² + 4)
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