Números Racionais na forma fracionária 

Números racionais positivos na forma fracionária (leitura e escrita) 

Os números racionais positivos na forma fracionária são aqueles números que podem ser expressos como uma fração, ou seja, são representados como o quociente de dois números inteiros, sendo o numerador e o denominador ambos números inteiros e o denominador diferente de zero.

A forma fracionária de um número racional positivo é escrita na forma a/b, onde "a" é o numerador e "b" é o denominador. O numerador representa a parte inteira ou os "pedaços" do número, enquanto o denominador representa o número de partes iguais em que o inteiro foi dividido.

Por exemplo:

- 1/2: Um meio, ou seja, a é igual a 1 e b é igual a 2.

- 3/4: Três quartos, ou seja, a é igual a 3 e b é igual a 4.

- 5/3: Cinco terços, ou seja, a é igual a 5 e b é igual a 3.

- 7/8: Sete oitavos, ou seja, a é igual a 7 e b é igual a 8.

Esses números racionais positivos na forma fracionária representam quantidades fracionárias de um inteiro e são muito comuns em diversas situações da vida cotidiana, como em medidas, porcentagens, taxas, entre outros. Eles também são importantes na matemática e em muitas outras áreas, sendo fundamentais para diversos cálculos e representações numéricas.

Situações que envolvem frações 

As frações são usadas em uma ampla variedade de situações na vida cotidiana, na educação, na ciência, na economia e em muitas outras áreas. Aqui estão algumas situações comuns que envolvem o uso de frações:

Medidas: Muitas medidas cotidianas são expressas em forma de frações, como meia xícara (1/2), um quarto de litro (1/4), um terço de metro (1/3), etc.

Receitas de cozinha: As receitas frequentemente usam frações para indicar as proporções dos ingredientes. Por exemplo, 3/4 de xícara de farinha, 1/2 colher de chá de sal, etc.

Divisão de alimentos: Dividir uma pizza, bolo ou qualquer alimento em partes iguais envolve o uso de frações, como dividir uma pizza em 8 fatias, sendo cada fatia equivalente a 1/8 da pizza.

Horário: A medição do tempo em horas e minutos usa frações. Por exemplo, meia hora (1/2), quinze minutos (1/4), dez minutos (1/6), etc.

Porcentagens: As porcentagens são representadas como frações com denominador 100. Por exemplo, 25% é igual a 25/100, 50% é igual a 50/100 ou 1/2, etc.

Taxas e juros: Taxas de juros em empréstimos ou investimentos são frequentemente expressas em forma de frações, como 3/4% ou 0,75%.

Probabilidade: A probabilidade é frequentemente expressa como uma fração de chances de um evento ocorrer.

Geometria: Frações são usadas em problemas de geometria para representar partes de figuras, áreas e volumes.

Escalas e mapas: Frações são usadas em escalas para representar proporções reais em mapas e projetos.

Saúde e Medicina: Frações são usadas em medicina para representar doses de medicamentos, diluições, proporções em exames de sangue, entre outros.

Essas são apenas algumas das muitas situações em que as frações são amplamente utilizadas. Dominar o conceito de frações é essencial para lidar com várias tarefas do dia a dia e para avançar em conceitos matemáticos mais complexos.

Tipos de fração 

As frações podem ser classificadas em diferentes tipos, dependendo de suas características e propriedades. Alguns dos tipos mais comuns de frações incluem:

Fração Própria: Uma fração é considerada própria quando o numerador é menor que o denominador. Exemplos: 1/2, 3/4, 2/5, etc.

Fração Imprópria: Uma fração é considerada imprópria quando o numerador é igual ou maior que o denominador. Nesse caso, a fração pode ser expressa como um número misto (número inteiro mais uma fração própria). Exemplos: 5/4 (pode ser expressa como 1 1/4), 7/3 (pode ser expressa como 2 1/3), etc.

Fração Aparente: Também conhecida como fração inteira, é uma fração onde o numerador é igual ao denominador, resultando em 1 inteiro. Exemplo: 3/3 = 1.

Fração Unitária: É uma fração em que o numerador é 1, ou seja, representa uma única parte de algo inteiro. Exemplo: 1/5, 1/2, 1/3, etc.

Fração Mista: Uma combinação de número inteiro e fração própria. Exemplo: 3 1/2, 2 3/4, etc.

Fração Decimal: Frações que têm uma forma decimal equivalente. Por exemplo, 1/2 é igual a 0,5; 3/4 é igual a 0,75.

Fração Recíproca: A fração recíproca de uma dada fração "a/b" é "b/a". Em outras palavras, os papéis do numerador e do denominador são invertidos. Exemplo: A fração recíproca de 2/3 é 3/2.

Fração Reduzida: Também conhecida como fração irredutível, é uma fração em que o numerador e o denominador não têm fatores em comum além de 1. Exemplo: 2/3 é uma fração reduzida, enquanto 4/6 não é reduzida (pode ser reduzida para 2/3).

Esses são alguns dos principais tipos de frações que são encontrados nos problemas e nas expressões matemáticas. Entender os diferentes tipos de frações é importante para realizar operações com elas e para simplificar cálculos matemáticos.

Números mistos 

Os números mistos são uma forma de representar quantidades que combinam um número inteiro com uma fração própria. Eles são compostos por um número inteiro e uma fração, separados por um espaço ou por um sinal de adição (+). Essa forma é útil quando lidamos com quantidades que excedem um inteiro, mas não são suficientes para formar outro inteiro completo.

A representação de um número misto é geralmente utilizada para tornar mais fácil entender e trabalhar com frações maiores. Para converter um número misto em uma fração imprópria (ou uma fração comum), você multiplica o número inteiro pelo denominador da fração e adiciona o numerador. O resultado é colocado sobre o denominador original para obter a fração imprópria.

Aqui estão alguns exemplos de números mistos e como convertê-los em frações impróprias:

Número Misto: 2 1/3

   Fração Impŕopria: (2 × 3) + 1 = 7/3

Número Misto: 3 4/5

   Fração Impŕopria: (3 × 5) + 4 = 19/5

Número Misto: 5 2/7

   Fração Impŕopria: (5 × 7) + 2 = 37/7

Os números mistos também podem ser convertidos de volta para frações mistas (ou números mistos), o processo é o oposto. Você divide o numerador da fração imprópria pelo denominador para encontrar o número inteiro e usa o resto como o numerador da fração.

Exemplos:

Fração Impŕopria: 11/4

   Número Misto: 2 3/4 (Divide 11 por 4, obtendo o número inteiro 2, e o resto 3 se torna o numerador da fração)

Fração Impŕopria: 17/6

   Número Misto: 2 5/6 (Divide 17 por 6, obtendo o número inteiro 2, e o resto 5 se torna o numerador da fração)

Os números mistos são particularmente úteis em contextos práticos, como em problemas de matemática aplicada, receitas de cozinha, medidas de tempo e comprimento, entre outros, onde as quantidades podem ser representadas por uma combinação de um número inteiro e uma fração própria.

Fração de um número 

Uma fração de um número representa uma parte desse número expressa como uma fração. Para encontrar a fração de um número, você multiplica o número pelo valor da fração.

A fórmula para calcular a fração de um número é a seguinte:

Fração de um número = (Fração) × (Número)

Por exemplo, para encontrar três quartos (3/4) de um número, você multiplica o número pelo valor da fração (3/4):

Fração de um número = (3/4) × (Número)

Vamos considerar um exemplo prático para entender melhor:

Exemplo:

Encontre três quartos (3/4) de 20.

Para encontrar três quartos (3/4) de 20, basta multiplicar 20 por 3/4:

Fração de um número = (3/4) × 20

Fração de um número = 3/4 × 20

Fração de um número = 60/4

Fração de um número = 15

Portanto, três quartos de 20 é igual a 15.

Você pode usar o mesmo princípio para encontrar a fração de qualquer número. Basta multiplicar o número pelo valor da fração para obter o resultado desejado.

Frações equivalentes 

Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade, mas são escritas de forma diferente. Elas têm diferentes numeradores e denominadores, mas quando simplificadas, seus valores são iguais. Em outras palavras, frações equivalentes representam a mesma parte de um inteiro ou a mesma quantidade, mas são expressas de maneiras diferentes.

Para obter frações equivalentes, é necessário multiplicar ou dividir tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número inteiro não nulo. Ao fazer isso, a proporção entre as partes da fração permanece a mesma, mas os valores numéricos mudam, resultando em uma fração equivalente.

Aqui estão alguns exemplos de frações equivalentes:

1/2 e 2/4 são frações equivalentes. Se dividirmos o numerador e o denominador de 2/4 por 2, obtemos 1/2.

3/6 e 1/2 são frações equivalentes. Se dividirmos o numerador e o denominador de 3/6 por 3, obtemos 1/2.

4/8 e 1/2 são frações equivalentes. Se dividirmos o numerador e o denominador de 4/8 por 4, obtemos 1/2.

Frações equivalentes são especialmente úteis quando se trabalha com operações envolvendo frações, tornando-as mais fáceis de somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Simplificar frações para sua forma mais reduzida ou encontrar outras representações para a mesma quantidade é uma habilidade importante em matemática.

Simplificação e comparação de frações 

A simplificação e a comparação de frações são duas operações comuns envolvendo frações.

Simplificação de Frações:

Simplificar uma fração significa reduzi-la à sua forma mais reduzida ou irredutível. Para simplificar uma fração, você deve dividir o numerador e o denominador por seu maior divisor comum (MDC) para obter uma fração equivalente que tenha o menor numerador e denominador possível.

Vamos tomar como exemplo a fração 8/12:

1. Encontre o MDC de 8 e 12, que é 4.

2. Divida o numerador e o denominador pelo MDC:

   8 ÷ 4 = 2

   12 ÷ 4 = 3

3. A fração simplificada é 2/3.

Portanto, 8/12 simplifica-se para 2/3.

Comparação de Frações:

Comparar frações envolve determinar qual fração é maior ou menor entre duas ou mais frações. Existem várias maneiras de comparar frações:

- Se os denominadores são iguais, você pode simplesmente comparar os numeradores para determinar qual fração é maior. A fração com o maior numerador é a maior.

Por exemplo, comparando 3/5 e 2/5:

3/5 é maior que 2/5 porque o numerador 3 é maior que o numerador 2.

- Se os denominadores são diferentes, você pode encontrar um denominador comum (MMC) e, em seguida, expressar ambas as frações com o mesmo denominador para fazer a comparação.

Por exemplo, comparando 2/3 e 5/8:

O MMC de 3 e 8 é 24.

Convertendo as frações para o denominador comum:

2/3 = 16/24 (multiplicando o numerador e o denominador de 2/3 por 8)

5/8 = 15/24 (multiplicando o numerador e o denominador de 5/8 por 3)

Agora podemos ver que 16/24 (2/3) é maior que 15/24 (5/8) porque o numerador 16 é maior que o numerador 15.

Essas são as principais operações para simplificação e comparação de frações. Praticar essas habilidades ajudará você a manipular frações de forma mais eficaz em problemas matemáticos e cotidianos.

Operações com frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada 

Vou explicar como realizar cada uma das operações com frações:

Adição de Frações:

Para adicionar frações com o mesmo denominador, basta somar os numeradores e manter o mesmo denominador. Exemplo:

(1/4) + (2/4) = (1+2)/4 = 3/4

Se as frações tiverem denominadores diferentes, é necessário encontrar um denominador comum (MMC) e, em seguida, converter as frações para esse denominador antes de somá-las.

Subtração de Frações:

A subtração de frações segue uma lógica semelhante à adição. Se os denominadores são iguais, subtraia os numeradores e mantenha o mesmo denominador. Exemplo:

(5/6) - (2/6) = (5-2)/6 = 3/6 (que pode ser simplificado para 1/2)

Se os denominadores são diferentes, encontre o MMC, converta as frações para o denominador comum e, em seguida, subtraia-as.

Multiplicação de Frações:

Para multiplicar frações, multiplique os numeradores e os denominadores. Exemplo:

(2/3) * (3/4) = (2*3)/(3*4) = 6/12 (que pode ser simplificado para 1/2)

Divisão de Frações:

Para dividir frações, inverta a segunda fração e, em seguida, multiplique as frações. Exemplo:

(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2*5)/(3*4) = 10/12 (que pode ser simplificado para 5/6)

Potenciação de Frações:

Para elevar uma fração a um expoente, eleve tanto o numerador quanto o denominador ao expoente. Exemplo:

(3/4)^2 = (3^2)/(4^2) = 9/16

Raiz Quadrada de Frações:

Para encontrar a raiz quadrada de uma fração, encontre a raiz quadrada do numerador e do denominador separadamente. Exemplo:

√(4/9) = √4/√9 = 2/3

Lembre-se de que é sempre recomendável simplificar as frações sempre que possível, reduzindo-as à sua forma mais reduzida, para facilitar os cálculos e obter resultados mais claros e precisos.

Porcentagem 

Porcentagem é uma forma de representar uma proporção ou uma parte de um número em relação a 100 unidades. O símbolo utilizado para representar a porcentagem é o "%". A porcentagem é frequentemente utilizada para expressar partes de um todo ou para descrever o aumento ou diminuição de uma quantidade em relação ao valor original.

Para calcular a porcentagem de um número, você pode utilizar a seguinte fórmula:

Porcentagem = (Parte / Total) * 100

Onde:

- Parte é a quantidade que você deseja expressar como porcentagem.

- Total é o valor total ou inteiro ao qual a parte pertence.

Vamos ver alguns exemplos para entender melhor o conceito de porcentagem:

**Exemplo 1:** Qual é a porcentagem de 25 em relação a 100?

Porcentagem = (25 / 100) * 100

Porcentagem = 0,25 * 100

Porcentagem = 25%

**Exemplo 2:** Se um produto custa R$ 80, mas está em promoção com 20% de desconto, qual será o novo preço?

Desconto = (20 / 100) * 80

Desconto = 0,2 * 80

Desconto = 16

Novo preço = 80 - 16 = R$ 64

**Exemplo 3:** Se você obteve 80 pontos em um teste que tinha um total de 100 pontos, qual é a porcentagem de acertos?

Porcentagem de acertos = (80 / 100) * 100

Porcentagem de acertos = 0,8 * 100

Porcentagem de acertos = 80%

Esses exemplos mostram como calcular porcentagens em diferentes contextos. A porcentagem é uma ferramenta útil para expressar proporções e mudanças relativas em uma variedade de situações, desde cálculos financeiros até avaliações de desempenho e crescimento em várias áreas.

VAMOS EXERCITAR!

1: Qual é a fração equivalente a 2/4?

a) 1/2

b) 3/4

c) 1/3

d) 2/3

2: Calcule a porcentagem de 40 em relação a 80:

a) 20%

b) 40%

c) 50%

d) 80%

3: Simplifique a fração 15/25:

a) 3/5

b) 2/5

c) 1/2

d) 3/4

4: Qual é a fração de um número igual a três quartos (3/4)?

a) 2/4

b) 3/5

c) 1/3

d) 6/8

5: Um item de preço original R$ 120 está com um desconto de 25%. Qual é o novo preço do item?

a) R$ 25

b) R$ 90

c) R$ 95

d) R$ 100

6: Calcule o resultado da operação: (2/3) + (1/3)

a) 1/2

b) 2/3

c) 3/4

d) 1

7: Qual é o resultado da operação: (4/5) - (1/5)?

a) 1/5

b) 3/5

c) 4/5

d) 2/5

8: Simplifique a fração 12/18:

a) 1/2

b) 2/3

c) 3/4

d) 4/6

9: Qual é a fração equivalente a 60%?

a) 3/6

b) 4/5

c) 6/10

d) 3/10

10: Calcule o resultado da operação: (3/4) ÷ (2/5)

a) 3/10

b) 5/6

c) 15/8

d) 8/15

Respostas: 

1. a) 1/2

2. c) 50%

3. a) 3/5

4. d) 6/8

5. b) R$ 90

6. d) 1

7. b) 3/5

8. b) 2/3

9. c) 6/10 

10. c) 15/8