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Números racionais positivos na forma decimal: leitura e representação
Números racionais positivos na forma decimal são números que podem ser expressos como uma fração em que tanto o numerador quanto o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero. Esses números podem ser escritos na forma decimal, que é uma representação numérica posicional baseada em poderes de 10.
Para ler e representar números racionais positivos na forma decimal, é importante entender a posição de cada algarismo em relação à vírgula decimal.
Vamos considerar alguns exemplos:
1. 0,5
- Leitura: "zero vírgula cinco" ou "meio"
- Representação: 0.5
2. 0,25
- Leitura: "zero vírgula vinte e cinco" ou "vinte e cinco centésimos"
- Representação: 0.25
3. 1,75
- Leitura: "um vírgula setenta e cinco" ou "um inteiro e setenta e cinco centésimos"
- Representação: 1.75
4. 3,142857142857...
- Leitura: "três vírgula um quatro dois oito cinco sete um quatro dois oito cinco sete..." (o padrão se repete)
- Representação: 3.142857142857... (a elipse indica que o padrão se repete infinitamente)
5. 0,333...
- Leitura: "zero vírgula três repetindo" ou "um terço"
- Representação: 0.333... (a elipse indica que o 3 se repete infinitamente)
6. 1,234
- Leitura: "um vírgula duzentos e trinta e quatro milésimos"
- Representação: 1.234
Note que quando os números racionais têm uma parte fracionária periódica (como os exemplos 4 e 5), indicamos o padrão que se repete com uma elipse sobre os algarismos que se repetem.
Frações decimais
As frações decimais são um tipo específico de fração em que o denominador é uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc.), o que permite representá-las em forma decimal. Essas frações têm um numerador inteiro e um denominador que indica o número de casas decimais que a fração possui.
Por exemplo:
1/10 é uma fração decimal porque o denominador é 10. Ela pode ser representada como 0.1 em forma decimal.
3/100 é outra fração decimal porque o denominador é 100. Ela pode ser representada como 0.03 em forma decimal.
7/1000 é uma fração decimal com o denominador 1000. Ela pode ser representada como 0.007 em forma decimal.
Todas as frações decimais podem ser expressas em forma decimal, e a quantidade de casas decimais dependerá do valor do denominador. Quanto maior o denominador, mais casas decimais haverá na representação.
É importante notar que nem todas as frações são decimais. Por exemplo, a fração 1/3 não é uma fração decimal, pois não pode ser representada exatamente em forma decimal, resultando em uma dízima periódica (0.333...). No entanto, algumas frações decimais têm uma representação finita em forma decimal, como 1/2 (0.5) e 3/4 (0.75).
As frações decimais são amplamente utilizadas em cálculos matemáticos e na representação de valores precisos em contextos científicos, financeiros e comerciais.
Transformações que envolvem números na forma decimal e frações
Existem várias transformações que podem ser feitas entre números na forma decimal e frações. Essas transformações são úteis para facilitar cálculos, comparar quantidades e representar números de maneira mais conveniente em diferentes situações. Vamos explorar algumas delas:
Transformação de decimal para fração:
Para transformar um número decimal em fração, podemos usar o denominador adequado com base no número de casas decimais. Cada casa decimal corresponde a uma potência de 10 no denominador.
Exemplo:
a) 0.25 em fração: O número tem duas casas decimais, portanto, usamos 100 como denominador. 0.25 = 25/100 = 1/4.
Transformação de fração para decimal:
Para transformar uma fração em número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador.
Exemplo:
a) 3/5 em decimal: 3 ÷ 5 = 0.6
Arredondamento de decimais para frações:
Às vezes, é útil representar um número decimal como uma fração aproximada. Para fazer isso, podemos encontrar a fração mais próxima do número decimal desejado.
Exemplo:
a) Arredondar 0.75 para a fração mais próxima: A fração mais próxima é 3/4.
Arredondamento de frações para decimais:
Podemos arredondar frações para um número decimal específico, dependendo do número de casas decimais desejado.
Exemplo:
a) Arredondar 5/8 para 2 casas decimais: 5 ÷ 8 = 0.625
Simplificação de frações decimais:
Algumas frações decimais têm uma representação finita em forma decimal, enquanto outras são dízimas periódicas. É possível simplificar dízimas periódicas para frações irredutíveis.
Exemplo:
a) 0.333... pode ser simplificado para 1/3.
Conversão entre porcentagens e frações decimais:
As porcentagens podem ser representadas como frações decimais dividindo o valor da porcentagem por 100, e as frações decimais podem ser representadas como porcentagens multiplicando o valor por 100.
Exemplo:
a) 25% em fração decimal: 25% = 25/100 = 0.25
b) 0.6 em porcentagem: 0.6 = 0.6 x 100% = 60%
Essas transformações são importantes em várias áreas da matemática e da vida cotidiana, pois permitem a manipulação de números em diferentes formas, tornando mais fácil a compreensão e resolução de problemas matemáticos.
Números na forma decimal equivalentes
Números na forma decimal são equivalentes quando possuem o mesmo valor numérico, apesar de terem representações diferentes. Isso pode ocorrer quando temos dígitos periódicos, arredondamentos ou diferentes números de casas decimais, mas, ao calcular seus valores reais, obtemos o mesmo resultado.
Aqui estão alguns exemplos de números na forma decimal equivalentes:
0.333... e 1/3: Ambos representam o valor de um terço. O número decimal 0.333... é uma dízima periódica que tem o dígito 3 se repetindo infinitamente. Matematicamente, 0.333... é igual a 1/3.
0.5 e 1/2: Ambos representam o valor de meio. Em forma decimal, é 0.5, e em fração é 1/2.
0.25 e 1/4: Esses números também são equivalentes. Em forma decimal, temos 0.25, e em fração, é 1/4.
0.6666... e 2/3: Esse número decimal é uma dízima periódica com o dígito 6 se repetindo infinitamente. Em fração, representa 2/3.
0.125 e 1/8: Ambos representam o valor de um oitavo. Em forma decimal, é 0.125, e em fração, é 1/8.
0.7 e 7/10: Esses números são equivalentes. Em forma decimal, é 0.7, e em fração, é 7/10.
É importante notar que, embora as representações possam ser diferentes, os valores são os mesmos. Essa equivalência é fundamental para a compreensão e manipulação de números em diferentes formas matemáticas.
Comparação de números na forma decimal
Para comparar números na forma decimal, basta analisar os algarismos em cada posição, da esquerda para a direita. Vamos ver algumas regras e exemplos para facilitar a comparação:
Algarismos mais à esquerda têm maior peso: Quando comparamos dois números decimais, primeiro olhamos para o algarismo mais à esquerda de ambos. O número com o maior algarismo na posição mais à esquerda será o maior.
Exemplo:
- 2.35 é maior que 1.92 porque o algarismo "2" (na casa das unidades) é maior que o algarismo "1" (também na casa das unidades).
Se os algarismos à esquerda são iguais, passamos para a próxima casa decimal: Se os algarismos na casa mais à esquerda forem iguais nos números que estamos comparando, então comparamos os algarismos da próxima casa decimal à direita.
Exemplo:
- 3.18 é maior que 3.12 porque ambos têm "3" na casa das unidades (primeira posição), mas o algarismo "8" na segunda posição é maior que o algarismo "2" na mesma posição em 3.12.
Compare casas decimais até encontrar diferença: Continue comparando os algarismos casa a casa até encontrar uma diferença. O número que tiver um algarismo maior na primeira posição em que há diferença é o maior.
Exemplo:
- 4.15 é maior que 4.12 porque ambos têm "4" na casa das unidades, "1" na primeira casa decimal, mas o algarismo "5" é maior que "2" na segunda casa decimal.
Números com mais casas decimais podem ser menores: Se todos os algarismos são iguais até que um número tenha mais casas decimais, o número com menos casas decimais é considerado maior.
Exemplo:
- 5.37 é maior que 5.3701 porque ambos têm "5" na casa das unidades e "3" nas casas decimais, mas 5.37 termina aí, enquanto 5.3701 continua com "01".
Lembrando que a comparação de números decimais é uma tarefa direta quando os números têm poucas casas decimais. Porém, em números decimais com muitas casas após a vírgula, a comparação pode se tornar mais complexa. Nesses casos, é útil utilizar calculadoras ou softwares matemáticos para realizar a comparação com maior precisão.
Operações com números na forma decimal: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada
Adição:
Para somar números na forma decimal, alinhamos as casas decimais e somamos os algarismos correspondentes. Se necessário, podemos adicionar zeros à direita para alinhar as casas decimais.
Exemplo:
2.35
+ 1.82
-------
4.17
Subtração:
Da mesma forma que a adição, alinhamos as casas decimais e subtraímos os algarismos correspondentes.
Exemplo:
3.56
- 1.28
-------
2.28
Multiplicação:
Multiplicar números decimais é semelhante à multiplicação de números inteiros. Ignoramos os pontos decimais temporariamente, realizamos a multiplicação normalmente e, por fim, contamos quantas casas decimais têm os fatores e somamos esse número ao resultado.
Exemplo:
1.5
x 0.8
-------
12 (multiplicação sem levar em conta os decimais)
-------
1.2 (resultado com uma casa decimal, pois ambos os números têm uma casa decimal cada)
Divisão:
Para dividir números decimais, utilizamos o mesmo princípio da multiplicação, ignorando os pontos decimais temporariamente. Se necessário, acrescentamos zeros à direita para alinhar os dígitos.
Exemplo:
2.5
÷ 0.5
-------
25 (divisão ignorando os decimais)
-------
5 (resultado com uma casa decimal, pois o numerador tem uma casa decimal)
Potenciação:
Para elevar um número decimal a uma potência, elevamos a parte inteira e a parte decimal separadamente e, em seguida, combinamos os resultados.
Exemplo:
(2.5)^2 = 2.5 * 2.5 = 6.25
Raiz Quadrada:
Para calcular a raiz quadrada de um número decimal, podemos utilizar métodos aproximados, como o método de Newton-Raphson, ou utilizar uma calculadora que forneça a raiz quadrada exata.
Exemplo:
√25 = 5
√2.5 ≈ 1.581 (aproximado)
Lembre-se de que, ao realizar operações com números decimais, é importante manter o controle das casas decimais e arredondar o resultado final conforme a precisão necessária. Utilizar calculadoras e softwares matemáticos pode ser útil em cálculos mais complexos ou que requerem alta precisão.
VAMOS EXERCITAR!!
1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre números racionais positivos na forma decimal?
a) São números irracionais.
b) Podem ser expressos como frações em que o denominador é zero.
c) Possuem casas decimais infinitas e não repetitivas.
d) Podem ser escritos na forma decimal com casas decimais finitas ou periódicas.
2. Qual das seguintes transformações permite converter o número decimal 0.75 em uma fração?
a) Dividir por 100
b) Dividir por 10
c) Multiplicar por 100
d) Multiplicar por 10
3. Qual dos seguintes números decimais é igual a 3/4?
a) 0.35
b) 0.75
c) 0.45
d) 0.25
4. Qual das seguintes opções é uma forma simplificada do número decimal 0.666...?
a) 2/3
b) 3/4
c) 4/5
d) 1/2
5. Qual das seguintes operações envolve um número decimal com três casas decimais?
a) 2.25 + 0.5
b) 3.45 - 1.20
c) 0.75 x 0.1
d) 5.5 ÷ 1.25
6. Qual das seguintes opções é a raiz quadrada aproximada de 9?
a) 1.732
b) 2.236
c) 3
d) 3.162
7. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a adição de números decimais?
a) Alinhamos as casas decimais e subtraímos os algarismos correspondentes.
b) Alinhamos as casas decimais e somamos os algarismos correspondentes.
c) Multiplicamos os algarismos correspondentes em cada posição.
d) Dividimos os algarismos correspondentes em cada posição.
8. Qual das seguintes opções representa a multiplicação de 0.8 com 1.25?
a) 0.625
b) 1.2
c) 1.00
d) 0.10
9. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a comparação de números decimais?
a) O número com o menor algarismo à esquerda é sempre o maior.
b) Os números são equivalentes se tiverem diferentes números de casas decimais.
c) Comparar números decimais não é possível, pois não podemos determinar sua magnitude.
d) O número com o maior algarismo à esquerda é sempre o maior.
10. Qual das seguintes opções representa a divisão de 3.6 por 0.2?
a) 1.8
b) 1.5
c) 0.18
d) 18
Respostas:
1. d
2. d
3. b
4. a
5. b
6. c
7. b
8. c)
9. d
10. a
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