Noções iniciais de geometria 

As noções primitivas 

Noções primitivas de geometria são conceitos básicos que não são definidos em termos de outras figuras geométricas, mas que servem como base para a construção de toda a geometria. As três noções primitivas fundamentais da geometria são o ponto, a reta e o plano. Vamos discutir cada um deles:

Ponto:

Um ponto é a entidade geométrica mais elementar e abstrata. Ele não tem dimensões, não tem tamanho, nem forma. Na geometria, usamos o ponto para representar uma posição no espaço. Pode-se pensar nele como uma marca ou localização única que não tem extensão. Na representação gráfica, um ponto é geralmente denotado por uma letra maiúscula, como "A" ou "P".

Reta:

Uma reta é uma sequência infinita de pontos que se estendem em ambas as direções. Ela tem uma dimensão: o comprimento. Uma reta é infinitamente longa e perfeitamente reta, sem curvas ou desvios. Além disso, qualquer par de pontos em uma reta determina uma única reta. Na representação gráfica, uma reta é indicada por uma linha reta com duas setas nos extremos para mostrar que continua indefinidamente em ambas as direções.

Plano:

Um plano é uma superfície infinita e plana que se estende em todas as direções. Ele tem duas dimensões: comprimento e largura. Um plano é bidimensional, ou seja, é como um "pedaço" infinito de papel ou um piso. Qualquer conjunto de três pontos não colineares (não alinhados) determina um único plano. Na representação gráfica, um plano é indicado por uma superfície plana que pode ser imaginada se estendendo indefinidamente.

Essas três noções primitivas são a base para o desenvolvimento da geometria euclidiana clássica, que é a geometria que estudamos na escola e que foi sistematizada pelo matemático grego Euclides há mais de 2.000 anos. A partir desses conceitos, outras figuras geométricas como segmentos de reta, ângulos, polígonos, círculos, sólidos e muitos outros são definidos e estudados na geometria.

Semirretas e segmentos de reta

Semirreta:

Uma semirreta é uma parte de uma reta que tem início em um ponto (chamado de ponto inicial) e se estende indefinidamente em uma direção específica. Ela não tem fim e continua infinitamente em apenas uma direção. Na representação gráfica, uma semirreta é denotada por um ponto inicial e uma seta no outro extremo, indicando a direção na qual ela se estende infinitamente. Formalmente, uma semirreta é representada como "AB→", onde "A" é o ponto inicial e a seta aponta para a direção de extensão.

Segmento de reta:

Um segmento de reta é uma parte finita de uma reta, que é limitada por dois pontos distintos: o ponto inicial e o ponto final. Diferentemente da semirreta, o segmento de reta tem comprimento finito e é determinado pela distância entre os dois pontos extremos. Na representação gráfica, um segmento de reta é denotado por dois pontos com uma linha reta sobre eles, indicando que essa parte específica da reta é finita. Formalmente, um segmento de reta é representado como "AB" ou "BA", onde "A" e "B" são os pontos inicial e final, respectivamente.

Principais diferenças:

- Enquanto a semirreta se estende infinitamente em apenas uma direção, o segmento de reta possui um início e um fim determinados.

- A semirreta é representada por um ponto inicial e uma seta na direção de extensão, enquanto o segmento de reta é representado por dois pontos extremos com uma linha reta sobre eles.

Exemplo:

Considere uma reta "r" e três pontos nessa reta: A, B e C.

- A semirreta com início em A e direção para B seria representada por "AB→".

- A semirreta com início em C e direção para B seria representada por "CB→".

- O segmento de reta entre A e B seria representado por "AB" ou "BA", indicando que é a mesma parte finita da reta independente da ordem dos pontos.

Esses conceitos são essenciais para entender e descrever relações e propriedades geométricas em problemas e teoremas matemáticos. Semirretas e segmentos de reta são apenas duas das muitas construções geométricas que podem ser feitas a partir das noções primitivas de ponto, reta e plano.

Ponto médio

O ponto médio é um conceito importante na geometria, relacionado a segmentos de reta. Ele é definido como o ponto exatamente no meio de um segmento de reta, ou seja, equidistante dos dois pontos extremos do segmento. Se você tiver um segmento de reta com extremidades nos pontos A e B, o ponto médio estará localizado exatamente no meio da reta e será denotado por M.

Para encontrar o ponto médio de um segmento de reta AB, você pode usar a seguinte fórmula:

Ponto Médio (M) = [(Coordenada de x de A + Coordenada de x de B) / 2, (Coordenada de y de A + Coordenada de y de B) / 2]

Essa fórmula determina as coordenadas do ponto médio usando a média das coordenadas dos pontos A e B. Em outras palavras, a coordenada x do ponto médio é a média das coordenadas x dos pontos A e B, e a coordenada y do ponto médio é a média das coordenadas y dos pontos A e B.

Por exemplo, se tivermos um segmento de reta com extremidades nos pontos A(2, 3) e B(6, 9), podemos encontrar o ponto médio (M) usando a fórmula:

Ponto Médio (M) = [(2 + 6) / 2, (3 + 9) / 2]

Ponto Médio (M) = [8 / 2, 12 / 2]

Ponto Médio (M) = [4, 6]

Portanto, o ponto médio do segmento de reta AB é M(4, 6).

O ponto médio tem várias propriedades úteis na geometria e é frequentemente utilizado em construções e cálculos relacionados a segmentos de reta e outras figuras geométricas. É um conceito fundamental em matemática e também tem aplicações práticas em diversas áreas, como a física, a engenharia e a computação gráfica.

Ângulos – conceito, representação e classificação 

Ângulos são figuras geométricas formadas por duas semirretas que têm uma origem comum, também chamada de vértice do ângulo. As semirretas são conhecidas como lados do ângulo. A medida do ângulo é determinada pela abertura entre as duas semirretas, que pode variar de 0 graus (ângulo nulo) a 180 graus (ângulo raso) em um plano plano.

Representação:

Os ângulos são geralmente representados graficamente por meio de um arco, que mostra a abertura entre as semirretas. O vértice do ângulo é indicado pelo ponto onde as duas semirretas se encontram. A notação mais comum para denotar um ângulo é usando três letras, sendo a do vértice no meio, como "ÂBC" ou "∠ABC".

Classificação:

Os ângulos podem ser classificados de acordo com sua medida e suas características. Alguns dos principais tipos de classificação de ângulos são:

1. Quanto à medida:

   - Ângulo agudo: Ângulo cuja medida é maior que 0 graus e menor que 90 graus.

   - Ângulo reto: Ângulo cuja medida é exatamente 90 graus.

   - Ângulo obtuso: Ângulo cuja medida é maior que 90 graus e menor que 180 graus.

   - Ângulo raso: Ângulo cuja medida é exatamente 180 graus.

   - Ângulo completo: Ângulo cuja medida é exatamente 360 graus (correspondente a uma volta completa).

2. Quanto à posição das semirretas:

   - Ângulo adjacente: Dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado em comum.

   - Ângulo oposto pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando têm o mesmo vértice e seus lados são formados por duas retas opostas.

   - Ângulo linear: Dois ângulos são lineares quando têm lados em linha reta, resultando na soma de 180 graus.

3. Quanto à relação entre seus lados:

   - Ângulo complementar: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90 graus.

   - Ângulo suplementar: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180 graus.

Posições relativas entre retas no plano 

As posições relativas entre retas no plano podem ser categorizadas em diferentes casos, dependendo de como as retas estão dispostas em relação umas às outras. Vamos explorar as principais posições relativas:

1. Retas concorrentes:

Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum, que é chamado de ponto de interseção. Essas retas se cruzam em um único ponto. Se as retas são diferentes e não paralelas, elas são concorrentes em um ponto. Se as retas são iguais, elas se sobrepõem em toda a sua extensão.

2. Retas paralelas:

Duas retas são paralelas quando estão no mesmo plano e nunca se cruzam, mesmo que se estendam indefinidamente. Isso significa que elas têm a mesma inclinação (ângulo de inclinação) e nunca se aproximam nem se afastam uma da outra.

3. Retas coincidentes:

Duas retas são coincidentes quando são idênticas e se sobrepõem exatamente em toda a sua extensão. Nesse caso, todos os pontos de uma reta também pertencem à outra reta.

4. Retas reversas:

Duas retas são reversas quando são paralelas e estão na mesma direção, ou seja, possuem a mesma inclinação e a mesma orientação. Elas nunca se cruzam e estão alinhadas na mesma direção.

5. Retas reversas opostas:

Duas retas são reversas opostas quando são paralelas e estão em direções opostas, ou seja, possuem a mesma inclinação, mas estão apontando em direções opostas. Elas nunca se cruzam e estão alinhadas em direções opostas.

6. Retas perpendiculares:

Duas retas são perpendiculares quando se cruzam formando um ângulo reto (90 graus). Suas inclinações são negativas recíprocas uma da outra.

7. Retas oblíquas:

Duas retas são oblíquas quando estão no mesmo plano, não são paralelas e não se cruzam perpendicularmente. Suas inclinações são diferentes uma da outra, e elas têm uma posição relativa geral inclinada uma em relação à outra.

VAMOS EXERCITAR 

1. Duas retas que estão no mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum são chamadas de:

   a) Retas paralelas

   b) Retas concorrentes

   c) Retas coincidentes

   d) Retas perpendiculares

2. Duas retas que se intersectam em um único ponto são chamadas de:

   a) Retas paralelas

   b) Retas concorrentes

   c) Retas coincidentes

   d) Retas perpendiculares

3. Duas retas que têm a mesma inclinação e nunca se cruzam, mesmo se estendidas indefinidamente, são chamadas de:

   a) Retas paralelas

   b) Retas concorrentes

   c) Retas coincidentes

   d) Retas perpendiculares

4. Duas retas que são exatamente iguais, possuindo todos os pontos em comum, são chamadas de:

   a) Retas paralelas

   b) Retas concorrentes

   c) Retas coincidentes

   d) Retas perpendiculares

5. Duas retas que se intersectam em um ângulo reto (90 graus) são chamadas de:

   a) Retas paralelas

   b) Retas concorrentes

   c) Retas coincidentes

   d) Retas perpendiculares

6. Qual é a posição relativa entre duas retas reversas?

   a) Elas são paralelas

   b) Elas são concorrentes

   c) Elas são coincidentes

   d) Elas são perpendiculares

7. Quando duas retas são paralelas, qual é a relação entre suas inclinações?

   a) Elas têm a mesma inclinação.

   b) Suas inclinações são perpendiculares.

   c) Suas inclinações são opostas.

   d) Suas inclinações são complementares.

8. Duas retas que são perpendiculares entre si podem se intersectar em:

   a) Um ângulo agudo.

   b) Um ângulo obtuso.

   c) Um ângulo reto.

   d) Um ângulo raso.

9. Quantos pontos de interseção duas retas concorrentes têm?

   a) Nenhum.

   b) Um.

   c) Dois.

   d) Infinitos.

10. Se duas retas são coincidentes, como suas equações se relacionam?

    a) Suas equações são diferentes.

    b) Suas equações são iguais.

    c) Suas equações são perpendiculares.

    d) Suas equações são paralelas.

Respostas:

1. a) Retas paralelas

2. b) Retas concorrentes

3. a) Retas paralelas

4. c) Retas coincidentes

5. d) Retas perpendiculares

6. a) Elas são paralelas

7. a) Elas têm a mesma inclinação.

8. c) Um ângulo reto.

9. b) Um.

10. b) Suas equações são iguais.