Números Inteiros 

Conjunto dos números inteiros 

O conjunto dos números inteiros é o conjunto numérico que inclui todos os números inteiros positivos, negativos e o zero. É representado pela letra "Z" e pode ser descrito da seguinte forma:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Os números inteiros são infinitos e podem ser contados para o lado positivo (+∞) ou negativo (-∞) sem fim. O zero é considerado um número inteiro, e os números positivos são chamados de inteiros positivos, enquanto os números negativos são conhecidos como inteiros negativos.

Representação dos números inteiros na reta numérica 

A representação dos números inteiros na reta numérica é feita colocando um ponto correspondente a cada número inteiro ao longo de uma linha reta. A reta numérica é uma linha reta horizontal que é dividida em segmentos iguais, e cada segmento representa uma unidade.

Para representar os números inteiros na reta numérica, você pode seguir estes passos:

1. Escolha um ponto de referência para representar o número zero. Geralmente, esse ponto é o centro da reta numérica.

2. Escolha uma unidade de medida para cada segmento na reta. Pode ser uma unidade pequena, como 1 cm, 1 polegada ou 1 unidade arbitrária.

3. Para representar um número inteiro positivo, conte a partir do zero na direção positiva, colocando um ponto a cada unidade. Por exemplo, para representar o número +3, conte três unidades para a direita do zero e coloque um ponto lá.

   -3  -2  -1   0   1   2   3

    .    .    .    .   .   .  .

4. Para representar um número inteiro negativo, conte a partir do zero na direção negativa, colocando um ponto a cada unidade. Por exemplo, para representar o número -2, conte duas unidades para a esquerda do zero e coloque um ponto lá.

   -3  -2  -1   0   1   2   3

    .    .    .    .   .  .    .

5. Continue representando os outros números inteiros da mesma maneira, adicionando pontos na reta numérica para cada número inteiro.

Lembre-se de que a reta numérica é infinita em ambas as direções, o que significa que você pode continuar adicionando pontos para representar números inteiros positivos e negativos sem limite. A reta numérica é uma ferramenta útil para visualizar e comparar números inteiros e suas relações de magnitude.

Comparação e ordenação de números inteiros 

A comparação e ordenação de números inteiros são importantes conceitos matemáticos que nos permitem determinar a relação de grandeza entre esses números. Vamos abordar cada um desses conceitos:

Comparação de números inteiros:

Comparar dois números inteiros é simplesmente determinar se um número é maior, menor ou igual ao outro. Para comparar números inteiros, podemos seguir algumas regras básicas:

Se os números têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), basta comparar seus valores absolutos. O número com o maior valor absoluto é o maior.

Se um número é positivo e o outro é negativo, o número positivo é sempre maior que o negativo.

O zero é considerado neutro e é igual a qualquer outro número inteiro positivo ou negativo.

Exemplos:

- Comparar 5 e 8: 8 é maior que 5.

- Comparar -3 e -7: -3 é maior que -7.

- Comparar 2 e -1: 2 é maior que -1.

- Comparar 0 e -4: 0 é maior que -4.

Ordenação de números inteiros:

A ordenação de números inteiros envolve colocar os números em ordem crescente ou decrescente com base em sua magnitude. Para ordenar os números inteiros, podemos usar os mesmos princípios de comparação mencionados acima.

Exemplos de ordenação em ordem crescente:

Dado o conjunto {-3, 6, 0, -1, 4}, podemos ordená-lo em ordem crescente: {-3, -1, 0, 4, 6}.

Dado o conjunto {10, -2, 5, -8}, podemos ordená-lo em ordem crescente: {-8, -2, 5, 10}.

Exemplos de ordenação em ordem decrescente:

Dado o conjunto {-3, 6, 0, -1, 4}, podemos ordená-lo em ordem decrescente: {6, 4, 0, -1, -3}.

Dado o conjunto {10, -2, 5, -8}, podemos ordená-lo em ordem decrescente: {10, 5, -2, -8}.

A comparação e ordenação de números inteiros são ferramentas essenciais em várias áreas da matemática e são usadas em diversas situações do cotidiano.

Módulo (ou valor absoluto) de um número inteiro 

O módulo, também conhecido como valor absoluto, de um número inteiro é a distância desse número à origem (zero) da reta numérica, sem considerar o sinal. Matematicamente, o módulo de um número inteiro "a" é representado por |a|.

O valor absoluto sempre resulta em um número não negativo, já que representa a distância entre o número inteiro e o zero na reta numérica. Se o número for positivo ou zero, o valor absoluto será igual ao próprio número, pois a distância entre o número e o zero é igual ao valor do próprio número. Se o número for negativo, o valor absoluto será o oposto do número, tornando-o positivo.

Formalmente, temos as seguintes definições para o valor absoluto:

Se "a" é maior ou igual a zero (a ≥ 0), então |a| = a.

Se "a" é menor que zero (a < 0), então |a| = -a.

Exemplos:

1. O valor absoluto de 5 é |5| = 5, pois 5 é um número positivo.

2. O valor absoluto de -8 é |-8| = 8, pois o oposto de -8 é 8, tornando-o positivo.

3. O valor absoluto de 0 é |0| = 0, pois a distância entre 0 e 0 é zero.

O valor absoluto é útil em várias aplicações matemáticas, como equações e desigualdades, além de ser amplamente usado em cálculos envolvendo números inteiros.

Oposto (ou simétrico) de um número inteiro 

O oposto, também conhecido como simétrico, de um número inteiro é o número que, somado ao número original, resulta em zero. Matematicamente, se "a" é um número inteiro, o oposto de "a" é representado por "-a".

Para encontrar o oposto de um número inteiro, basta inverter o sinal do número. Se o número for positivo, o oposto será um número negativo com o mesmo valor absoluto. Se o número for negativo, o oposto será um número positivo com o mesmo valor absoluto.

Formalmente, temos a seguinte definição para o oposto de um número inteiro "a":

Se "a" é um número inteiro, então o oposto de "a" é representado por "-a".

Exemplos:

1. O oposto de 5 é -5, pois 5 + (-5) = 0.

2. O oposto de -8 é 8, pois -8 + 8 = 0.

3. O oposto de 0 é 0, pois 0 + 0 = 0.

O conceito de oposto é muito útil em matemática, especialmente em operações com números inteiros e em cálculos algébricos. Por exemplo, em subtração, podemos representar a subtração de um número por meio da adição do oposto desse número, facilitando os cálculos.

Operações com números inteiros: adição, subtração, multiplicação e divisão 

Operações com números inteiros envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão. Vamos revisar como realizar cada uma dessas operações:

Adição de números inteiros:

A adição de números inteiros é feita somando seus valores. Se ambos os números tiverem o mesmo sinal (positivo ou negativo), basta somar seus valores absolutos e manter o sinal resultante. Se os números tiverem sinais opostos, o processo é equivalente a subtrair os valores absolutos, e o sinal do resultado será o mesmo do número com maior valor absoluto.

Exemplos:

- (+3) + (+5) = +8

- (-2) + (-7) = -9

- (+4) + (-2) = +2

- (-3) + (+7) = +4

Subtração de números inteiros:

A subtração de números inteiros é realizada adicionando o oposto (simétrico) do número que está sendo subtraído. Isso pode ser expresso como uma adição utilizando o oposto do segundo número.

Exemplos:

- (+8) - (+3) = +8 + (-3) = +5

- (-5) - (-2) = -5 + (+2) = -3

- (-1) - (+6) = -1 + (-6) = -7

Multiplicação de números inteiros:

A multiplicação de números inteiros é semelhante à multiplicação de números naturais. O sinal do resultado é determinado pela combinação de sinais dos números multiplicados. Se ambos têm o mesmo sinal (positivo ou negativo), o resultado é positivo; caso contrário, o resultado é negativo.

Exemplos:

- (+3) * (+4) = +12

- (-5) * (-2) = +10

- (+2) * (-3) = -6

- (-4) * (+5) = -20

Divisão de números inteiros:

A divisão de números inteiros é semelhante à divisão de números naturais. O sinal do resultado é determinado da mesma forma que na multiplicação. O quociente será positivo se ambos os números tiverem o mesmo sinal e negativo se tiverem sinais opostos.

No entanto, é importante notar que a divisão por zero não é definida nos números inteiros, assim como nos demais conjuntos numéricos, exceto em casos específicos da matemática avançada.

Exemplos:

- (+12) ÷ (+3) = +4

- (-10) ÷ (-2) = +5

- (+6) ÷ (-2) = -3

- (-20) ÷ (+5) = -4

Essas são as operações fundamentais com números inteiros. Elas são usadas em várias aplicações matemáticas e têm importantes aplicações na resolução de problemas do dia a dia.

Propriedades da adição e da multiplicação de números inteiros 

As propriedades da adição e da multiplicação de números inteiros são regras matemáticas que se aplicam a essas operações e nos permitem simplificar cálculos e manipular expressões numéricas de maneira mais eficiente. Vamos revisar as principais propriedades:

Propriedades da adição:

Comutativa: A ordem dos números não altera o resultado da adição.

   Exemplo: a + b = b + a

Associativa: A forma como agrupamos os números não altera o resultado da adição.

   Exemplo: (a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro: Existe um elemento neutro na adição, que é o zero (0). Qualquer número somado a zero resulta no próprio número.

   Exemplo: a + 0 = a

Inverso aditivo: Para cada número inteiro "a", existe o seu oposto (simétrico) "-a", tal que a + (-a) = 0.

   Exemplo: a + (-a) = 0

Propriedades da multiplicação:

Comutativa: A ordem dos números não altera o resultado da multiplicação.

   Exemplo: a * b = b * a

Associativa: A forma como agrupamos os números não altera o resultado da multiplicação.

   Exemplo: (a * b) * c = a * (b * c)

Elemento neutro: Existe um elemento neutro na multiplicação, que é o número 1. Qualquer número multiplicado por 1 resulta no próprio número.

   Exemplo: a * 1 = a

Propriedade distributiva: A multiplicação é distributiva em relação à adição. Isso significa que a multiplicação de um número pela soma de dois outros números é igual à soma das multiplicações do número por cada um dos outros números separadamente.

   Exemplo: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

Multiplicação por zero: Qualquer número multiplicado por zero resulta em zero.

   Exemplo: a * 0 = 0

É importante ressaltar que essas propriedades são aplicáveis não apenas aos números inteiros, mas também a outros conjuntos numéricos, como os números naturais, racionais e reais. O conhecimento dessas propriedades facilita a manipulação e a solução de equações e expressões matemáticas de forma mais sistemática e eficiente.

Operações inversas 

As operações inversas são pares de operações que desfazem uma à outra, retornando ao valor original. Em matemática, essas operações são muito importantes e são usadas para resolver equações e simplificar expressões.

As principais operações inversas são:

Adição e Subtração:

   A adição e a subtração são operações inversas uma da outra. Para desfazer uma adição, subtraímos o mesmo valor adicionado. E para desfazer uma subtração, adicionamos o mesmo valor subtraído.

   Exemplo:

   Se temos a equação: x + 5 = 10

   Para encontrar o valor de x, devemos usar a operação inversa, que é a subtração. Subtraímos 5 dos dois lados da equação:

   x + 5 - 5 = 10 - 5

   x = 5

Multiplicação e Divisão:

   A multiplicação e a divisão são operações inversas uma da outra. Para desfazer uma multiplicação, dividimos pelo mesmo valor multiplicado. E para desfazer uma divisão, multiplicamos pelo mesmo valor dividido.

   Exemplo:

   Se temos a equação: 3x = 15

   Para encontrar o valor de x, devemos usar a operação inversa, que é a divisão. Dividimos ambos os lados da equação por 3:

   (3x) / 3 = 15 / 3

   x = 5

Valor Absoluto e Oposto:

   O valor absoluto e o oposto de um número também são operações inversas. O valor absoluto retorna o número positivo, enquanto o oposto retorna o número com o sinal trocado.

   Exemplo:

   Valor absoluto: | -4 | = 4

   Oposto: - ( -4 ) = 4

Elevar a uma Potência e Raiz:

   Elevar um número a uma potência e tirar a raiz são operações inversas. Elevar um número à potência "n" e em seguida tirar a raiz "n" desfará a operação, retornando ao valor original.

   Exemplo:

   Se temos a equação: x^2 = 25

   Para encontrar o valor de x, devemos usar a operação inversa, que é a raiz quadrada. Tiramos a raiz quadrada dos dois lados da equação:

   √(x^2) = √25

   x = ±5 (Lembrando que a raiz quadrada possui duas soluções, positiva e negativa).

O conhecimento das operações inversas é fundamental para resolver equações e expressões, tornando-se uma habilidade essencial em várias áreas da matemática e em muitas aplicações práticas.

Expressões numéricas envolvendo números inteiros 

Expressão com Adição e Subtração:

   Exemplo: 3 + 7 - 5

   Solução: 3 + 7 = 10, e depois 10 - 5 = 5

   Portanto, o resultado é 5.

Expressão com Multiplicação e Adição:

   Exemplo: 4 * 3 + 2

   Solução: 4 * 3 = 12, e depois 12 + 2 = 14

   Portanto, o resultado é 14.

Expressão com Parênteses:

   Exemplo: 5 * (2 + 3)

   Solução: Primeiro, realizamos a operação dentro dos parênteses: 2 + 3 = 5

   Então, 5 * 5 = 25

   Portanto, o resultado é 25.

Expressão com Valor Absoluto e Oposto:

   Exemplo: | -6 | - |-3|

   Solução: O valor absoluto de -6 é 6, e o valor absoluto de -3 é 3.

   Então, a expressão fica: 6 - 3 = 3

   Portanto, o resultado é 3.

Expressão com Potência e Divisão:

   Exemplo: 3^2 ÷ 9

   Solução: 3^2 = 3 * 3 = 9

   Então, 9 ÷ 9 = 1

   Portanto, o resultado é 1.

É importante lembrar de seguir a ordem das operações matemáticas (parênteses, potenciação, multiplicação e divisão, e, por último, adição e subtração) para obter o resultado correto em cada caso. O conhecimento das propriedades e das operações inversas também é útil para simplificar e resolver expressões numéricas mais complexas.

Regras de sinais para operar com números inteiros 

As regras para os sinais são fundamentais para realizar operações com números inteiros. Elas determinam como os sinais de adição, subtração, multiplicação e divisão devem ser combinados quando lidamos com números inteiros positivos e negativos. Vamos revisar essas regras:

Adição:

   - Quando somamos números com o mesmo sinal (positivo + positivo ou negativo + negativo), o resultado mantém o mesmo sinal da soma.

     Exemplo: (+3) + (+5) = +8 e (-3) + (-5) = -8

   - Quando somamos números com sinais opostos (positivo + negativo ou negativo + positivo), subtraímos o valor absoluto do menor do valor absoluto do maior, e o resultado terá o sinal do número com maior valor absoluto.

     Exemplo: (+7) + (-4) = +3 e (-7) + (+4) = -3

Subtração:

   A subtração pode ser interpretada como a adição do oposto. Isso significa que a subtração de um número é equivalente à adição do seu oposto (simétrico).

   Exemplo: 7 - 3 = 7 + (-3) = 4

Multiplicação:

   - Quando multiplicamos números com o mesmo sinal, o resultado é sempre positivo.

     Exemplo: (+2) * (+3) = +6 e (-2) * (-3) = +6

   - Quando multiplicamos números com sinais opostos, o resultado é sempre negativo.

     Exemplo: (+4) * (-3) = -12 e (-4) * (+3) = -12

Divisão:

   A divisão de números inteiros pode resultar em um número inteiro, um número fracionário ou um número misto (número inteiro e fração). No entanto, a regra fundamental é que, se os números têm o mesmo sinal, o resultado será positivo; se os números têm sinais opostos, o resultado será negativo.

   Exemplo: (+15) ÷ (+3) = +5 e (-15) ÷ (-3) = +5

É importante lembrar que o zero é considerado um número inteiro neutro e não possui um sinal específico. O sinal de um número inteiro positivo pode ser representado explicitamente com o símbolo "+", mas geralmente é omitido, exceto quando necessário para evitar confusões.

Conhecer e aplicar corretamente essas regras de sinais é essencial para realizar operações matemáticas corretas com números inteiros. Elas nos ajudam a entender a relação entre os números e a resolver problemas de maneira precisa e eficiente.

VAMOS EXERCITAR ?

1. Qual é o resultado da expressão numérica: (-5) + (-3) - (-2)?

   a) 4

   b) -4

   c) -6

   d) 6

2. Qual é o valor absoluto do número inteiro -9?

   a) -9

   b) 9

   c) 0

   d) -1

3. Qual é o oposto do número inteiro -15?

   a) -15

   b) 15

   c) -1

   d) 1

4. Resolva a expressão: | -6 | + 3

 a) -3 

b) 3 

c) 6 

d) 9 

5. Qual das seguintes propriedades da multiplicação é aplicável aos números inteiros?

   a) Propriedade associativa

   b) Propriedade comutativa

   c) Propriedade distributiva

   d) Propriedade do elemento neutro

6. Resolva a expressão numérica: (3 + 2) * 4.

   a) 10

   b) 20

   c) 14

   d) 25

7. Qual é o valor do quociente da divisão: (-30) ÷ 5?

   a) -6

   b) 6

   c) 5

   d) -5

8. Qual é o resultado da expressão numérica: | 8 - 12 | + 3?

   a) -1

   b) 1

   c) 7

   d) 5

9. Calcule: (-15) ÷ 3 

a) -5 

b) 5

 c) -45 

d) 45 

10. Qual das seguintes opções é a operação inversa da adição?

    a) Multiplicação

    b) Subtração

    c) Divisão

    d) Exponenciação

Respostas:

1.  c) -6

2. b) 9

3. b) 15

4. d) 9 

5. c) Propriedade distributiva

6. b) 20

7. a) -6

8. c) 7

9. a) -5 

10. b) Subtração