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Equações do 2º grau são aquelas que podem ser escritas na forma geral:
ax² + bx + c = 0
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Resolvendo Equações do Tipo ax² + c = 0
Isole o termo x²: x² = -c/a
Extraia a raiz quadrada de ambos os lados: x = ±√(-c/a)
Observação: Se -c/a for negativo, a equação não terá raízes reais.
Resolvendo Equações do Tipo ax² + bx = 0
Coloque o fator comum x em evidência: x(ax + b) = 0
Aplique a propriedade do produto nulo (um produto é zero se e somente se um dos fatores for zero): x = 0 ou ax + b = 0
Se ax + b = 0, isole x: x = -b/a
Resolvendo Equações do Tipo ax² + bx + c = 0
Existem três métodos principais para resolver equações completas do 2º grau:
1. Fatoração:
Se o trinômio puder ser fatorado, podemos aplicar a propriedade do produto nulo.
Exemplo:
x² + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 x = -2 ou x = -3
2. Método de Completar Quadrados:
Reescrevemos a equação na forma de um quadrado perfeito.
Exemplo:
x² + 6x + 5 = 0 (x + 3)² - 4 = 0 (x + 3)² = 4 x + 3 = ±2 x = -1 ou x = -5
3. Fórmula Resolutiva (Fórmula de Bhaskara):
Aplicamos a fórmula:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Equações Literais
São equações onde os coeficientes são letras. A resolução segue os mesmos métodos das equações numéricas.
Equações Fracionárias
São equações que envolvem frações algébricas. Para resolvê-las, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores e multiplicar ambos os lados da equação por ele.
Estudo das Raízes de uma Equação do 2º Grau
O Discriminante e a Quantidade de Raízes
O discriminante (Δ) de uma equação do 2º grau é dado por:
Δ = b² - 4ac
Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.
Se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).
Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
Relações Envolvendo as Raízes e os Coeficientes
Sejam x₁ e x₂ as raízes de uma equação do 2º grau, então:
Soma das raízes: x₁ + x₂ = -b/a
Produto das raízes: x₁ * x₂ = c/a
Equação do 2º Grau e sua Forma Fatorada
Se x₁ e x₂ são as raízes de uma equação do 2º grau, então a equação pode ser escrita na forma fatorada:
a(x - x₁)(x - x₂) = 0
Aprofunde com exemplos
Resolvendo Equações do Tipo ax² + c = 0
Exemplo 1: Resolva a equação 2x² - 8 = 0.
Resolução:
2x² - 8 = 0
2x² = 8
x² = 8 / 2
x² = 4
x = ±√4
x = ±2
Resposta: x = 2 ou x = -2.
Problematização: Resolva a equação 3x² + 12 = 0.
Resolução:
3x² + 12 = 0
3x² = -12
x² = -12 / 3
x² = -4
Como não existe raiz quadrada real de um número negativo, a equação não tem raízes reais.
Resposta: Não possui raízes reais.
Resolvendo Equações do Tipo ax² + bx = 0
Exemplo 2: Resolva a equação x² - 5x = 0.
Resolução:
x(x - 5) = 0
x = 0 ou x - 5 = 0
x = 0 ou x = 5
Resposta: x = 0 ou x = 5.
Problematização: Resolva a equação 4x² + 8x = 0.
Resolução:
4x(x + 2) = 0
x = 0 ou x + 2 = 0
x = 0 ou x = -2
Resposta: x = 0 ou x = -2.
Resolvendo Equações do Tipo ax² + bx + c = 0
1. Fatoração
Exemplo 3: Resolva a equação x² - 7x + 10 = 0.
Resolução:
x² - 7x + 10 = 0
(x - 2)(x - 5) = 0
x = 2 ou x = 5
Resposta: x = 2 ou x = 5.
Problematização: Resolva a equação x² + 6x + 9 = 0.
Resolução:
x² + 6x + 9 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
(x + 3)² = 0
x = -3
Resposta: x = -3 (raiz dupla).
2. Método de Completar Quadrados
Exemplo 4: Resolva a equação x² + 4x - 5 = 0 pelo método de completar quadrados.
Resolução:
x² + 4x - 5 = 0
x² + 4x = 5
x² + 4x + 4 = 5 + 4
(x + 2)² = 9
x + 2 = ±3
x = -2 ± 3
x = 1 ou x = -5
Resposta: x = 1 ou x = -5.
Problematização: Resolva a equação x² + 8x + 16 = 0 pelo método de completar quadrados.
Resolução:
x² + 8x + 16 = 0
x² + 8x = -16
x² + 8x + 16 = 0
(x + 4)² = 0
x + 4 = 0
x = -4
Resposta: x = -4 (raiz dupla).
3. Fórmula de Bhaskara
Exemplo 5: Resolva a equação 2x² - 4x - 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.
Resolução:
A equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 2, b = -4, c = -6.
Calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4(2)(-6)
Δ = 16 + 48
Δ = 64
Calculamos as raízes:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (4 ± √64) / 4
x = (4 ± 8) / 4
x₁ = (4 + 8) / 4 = 12 / 4 = 3
x₂ = (4 - 8) / 4 = -4 / 4 = -1
Resposta: x = 3 e x = -1.
Problematização: Resolva a equação x² - 3x + 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.
Resolução:
A equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = -3, c = 2.
Calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4(1)(2)
Δ = 9 - 8
Δ = 1
Calculamos as raízes:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (3 ± √1) / 2
x = (3 ± 1) / 2
x₁ = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2
x₂ = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1
Resposta: x = 2 e x = 1.
Equações Literais
Exemplo 6: Resolva a equação ax² + bx = 0.
Resolução:
ax(x + b/a) = 0
x = 0 ou x = -b/a
Resposta: x = 0 ou x = -b/a.
Problematização: Resolva a equação kx² - 4kx = 0.
Resolução:
kx(x - 4) = 0
x = 0 ou x - 4 = 0
x = 0 ou x = 4
Resposta: x = 0 ou x = 4.
Equações Fracionárias
Exemplo 7: Resolva a equação (1/x) + (2/x) = (3/x).
Resolução:
Multiplicando ambos os lados por x:
1 + 2 = 3
Isso é uma identidade verdadeira para todo x ≠ 0.
Resposta: Qualquer x ≠ 0.
Problematização: Resolva a equação (2/x) + 1 = (3/x).
Resolução:
Multiplicando ambos os lados por x:
2 + x = 3
x = 3 - 2
x = 1
Resposta: x = 1.
Estudo das Raízes de uma Equação do 2º Grau
Exemplo 8: Estude as raízes da equação 4x² - 4x + 1 = 0.
Resolução:
Calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4(4)(1)
Δ = 16 - 16
Δ = 0
Como Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).
Resposta: Duas raízes reais e iguais.
Problematização: Estude as raízes da equação x² + 2x + 5 = 0.
Resolução:
Calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4(1)(5)
Δ = 4 - 20
Δ = -16
Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
Resposta: Não possui raízes reais.
Relações Envolvendo as Raízes e os Coeficientes
Exemplo 9: Para a equação 2x² - 4x + 2 = 0, encontre a soma e o produto das raízes.
Resolução:
A soma das raízes é dada por -b/a:
Soma = -(-4) / 2 = 4 / 2 = 2
O produto das raízes é dado por c/a:
Produto = 2 / 2 = 1
Resposta: Soma = 2, Produto = 1.
Problematização: Para a equação x² - 3x + 2 = 0, encontre a soma e o produto das raízes.
Resolução:
A soma das raízes é dada por -b/a:
Soma = -(-3) / 1 = 3 / 1 = 3
O produto das raízes é dado por c/a:
Produto = 2 / 1 = 2
Resposta: Soma = 3, Produto = 2.
Equação do 2º Grau e sua Forma Fatorada
Exemplo 10: Escreva a equação x² - 5x + 6 = 0 na forma fatorada.
Resolução:
As raízes da equação são x₁ = 2 e x₂ = 3.
A forma fatorada é:
(x - 2)(x - 3) = 0
Resposta: (x - 2)(x - 3) = 0.
Problematização
:Escreva a equação 2x² - 8x + 6 = 0 na forma fatorada.
Resolução:
As raízes da equação são x₁ = 1 e x₂ = 3.
A forma fatorada é:
2(x - 1)(x - 3) = 0
Resposta: 2(x - 1)(x - 3) = 0.
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Resolva a equação 4x² - 9 = 0.
a) x = ±3/2
b) x = 3 ou x = -3
c) x = 2 ou x = -2
d) x = ±3
2. Resolva a equação 5x² + 10x = 0.
a) x = 0 ou x = 2
b) x = 0 ou x = -2
c) x = 0 ou x = -3
d) x = 0 ou x = -2
3. Resolva a equação x² - 4x + 3 = 0 por fatoração.
a) x = 3 e x = 1
b) x = -3 e x = -1
c) x = 3 e x = -1
d) x = -3 e x = 1
4. Qual é o discriminante da equação x² + 2x + 1 = 0 e quantas raízes reais ela possui?
a) Δ = 1, duas raízes reais e iguais
b) Δ = 0, duas raízes reais e iguais
c) Δ = 4, duas raízes reais e distintas
d) Δ = -4, nenhuma raiz real
5. Resolva a equação 3x² - 12x + 12 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.
a) x = 2, x = 2
b) x = 1, x = 2
c) x = 0, x = 2
d) x = 2, x = -2
6. Resolva a equação 2x² + 7x - 3 = 0 usando o método de completar quadrados.
a) x = 1 e x = -3
b) x = 3 e x = -1
c) x = -1 e x = 3
d) x = -3 e x = 1
7. Para a equação x² - 7x + 10 = 0, qual é a soma e o produto das raízes?
a) Soma = 7, Produto = 10
b) Soma = -7, Produto = -10
c) Soma = 7, Produto = 10
d) Soma = -7, Produto = 10
8. Escreva a equação x² - 9x + 20 = 0 na forma fatorada.
a) (x - 4)(x - 5)
b) (x + 4)(x + 5)
c) (x - 5)(x - 4)
d) (x + 5)(x - 4)
9. Resolva a equação literal ax² + bx + c = 0 usando a fórmula de Bhaskara e encontre a expressão para as raízes.
a) x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
b) x = (-b ± √(b² + 4ac)) / 2a
c) x = (-b ± √(b² - 4ac)) / a
d) x = (-b ± √(4ac - b²)) / 2a
10. Qual é o discriminante e a quantidade de raízes reais para a equação 2x² + 4x + 5 = 0?
a) Δ = 4, duas raízes reais e distintas
b) Δ = 0, duas raízes reais e iguais
c) Δ = -24, nenhuma raiz real
d) Δ = 16, duas raízes reais e distintas
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