Equações e Sistemas de Equações 

Equação do 1º Grau com Uma Incógnita

Uma equação do 1º grau com uma incógnita é uma igualdade que pode ser escrita na forma:

ax + b = 0

onde a e b são números reais e a ≠ 0. A incógnita é representada pela letra x. Para resolver a equação, isolamos x:

x = -b/a

Exemplo:

2x + 5 = 11 2x = 6 x = 3

Equações Fracionárias

São equações que envolvem frações com a incógnita no denominador. Para resolver, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores e multiplicar ambos os lados da equação por ele.

Exemplo:

x/2 + 3/4 = 5/6 MMC(2, 4, 6) = 12 6x + 9 = 10 6x = 1 x = 1/6

Equações do 1º Grau com Duas Incógnitas

Uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma igualdade que pode ser escrita na forma:

ax + by = c

onde a, b e c são números reais e a e b não são simultaneamente nulos. As incógnitas são representadas pelas letras x e y.

Representação Geométrica de uma Equação do 1º Grau com Duas Incógnitas

O gráfico de uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma reta. Cada ponto da reta representa uma solução da equação.

Sistemas de Duas Equações do 1º Grau com Duas Incógnitas

Um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é um conjunto de duas equações que devem ser satisfeitas simultaneamente.

Exemplo:

x + y = 5 2x - y = 1

Solução de um Sistema de Duas Equações do 1º Grau com Duas Incógnitas

Existem dois métodos principais para resolver sistemas de equações:

• Método da Substituição:

  1. Isolamos uma das incógnitas em uma das equações.

  2. Substituímos a expressão encontrada na outra equação.

  3. Resolvemos a equação resultante para encontrar o valor de uma das incógnitas.

  4. Substituímos o valor encontrado em qualquer uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.

• Método da Adição:

  1. Multiplicamos as equações por números convenientes para que os coeficientes de uma das incógnitas tenham sinais opostos.

  2. Somamos as equações, eliminando uma das incógnitas.

  3. Resolvemos a equação resultante para encontrar o valor da incógnita restante.

  4. Substituímos o valor encontrado em qualquer uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.

Análise da Solução de um Sistema de Equações por Meio da Representação Geométrica

• Sistema Possível e Determinado (SPD): As retas se interceptam em um único ponto, que representa a única solução do sistema.

• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): As retas são coincidentes, ou seja, representam a mesma reta. Nesse caso, o sistema possui infinitas soluções.

• Sistema Impossível (SI): As retas são paralelas e não se interceptam. Nesse caso, o sistema não possui solução.

Aprofunde com exemplos 

Equação do 1º Grau com Uma Incógnita

Exemplo 1: Resolva a equação 3x - 7 = 11.

Resolução:

3x - 7 = 11

3x = 11 + 7

3x = 18

x = 18 / 3

x = 6

Resposta: x = 6.

Problematização: Resolva a equação 5x + 9 = 24.

Resolução:

5x + 9 = 24

5x = 24 - 9

5x = 15

x = 15 / 5

x = 3

Resposta: x = 3.

Equações Fracionárias

Exemplo 2:** Resolva a equação x/3 - 2/5 = 1/2.

Resolução:

Encontre o MMC dos denominadores: MMC(3, 5, 2) = 30.

Multiplique ambos os lados da equação pelo MMC:

(30)(x/3) - (30)(2/5) = (30)(1/2)

10x - 12 = 15

10x = 15 + 12

10x = 27

x = 27 / 10

x = 2,7

Resposta: x = 2,7.

Problematização: Resolva a equação 2/x + 3/4 = 5/6.

Resolução:

Encontre o MMC dos denominadores: MMC(x, 4, 6) = 12x.

Multiplique ambos os lados da equação pelo MMC:

(12x)(2/x) + (12x)(3/4) = (12x)(5/6)

24 + 9x = 10x

24 = 10x - 9x

24 = x

Resposta: x = 24.

Equações do 1º Grau com Duas Incógnitas

Exemplo 3: Representação geométrica da equação 2x + 3y = 6.

Resolução:

Para encontrar a interseção com o eixo x, defina y = 0:

2x + 3(0) = 6

2x = 6

x = 3

Ponto (3, 0).

Para encontrar a interseção com o eixo y, defina x = 0:

2(0) + 3y = 6

3y = 6

y = 2

Ponto (0, 2).

Os pontos (3, 0) e (0, 2) são suficientes para traçar a reta.

**Problematização:** Determine a interseção da equação x - 4y = 8 com os eixos x e y.

Resolução:

Para o eixo x, y = 0:

x - 4(0) = 8

x = 8

Ponto (8, 0).

Para o eixo y, x = 0:

0 - 4y = 8

-4y = 8

y = -2

Ponto (0, -2).

Sistemas de Duas Equações do 1º Grau com Duas Incógnitas

Exemplo 4: Resolva o sistema de equações usando o método da substituição:

x + y = 4

2x - y = 1

Resolução:

Isolamos y na primeira equação:

y = 4 - x

Substituímos na segunda equação:

2x - (4 - x) = 1

2x - 4 + x = 1

3x - 4 = 1

3x = 5

x = 5 / 3

x = 5/3

Substituímos x na primeira equação:

5/3 + y = 4

y = 4 - 5/3

y = 12/3 - 5/3

y = 7/3

Resposta: x = 5/3 e y = 7/3.

Problematização: Resolva o sistema de equações usando o método da adição:

3x - y = 5

2x + y = 7

Resolução:

Multiplicamos a segunda equação por 1:

2x + y = 7

Somamos as duas equações:

3x - y + 2x + y = 5 + 7

5x = 12

x = 12 / 5

x = 12/5

Substituímos x em uma das equações originais:

3(12/5) - y = 5

36/5 - y = 5

y = 36/5 - 25/5

y = 11/5

Resposta: x = 12/5 e y = 11/5.

Análise da Solução de um Sistema de Equações por Meio da Representação Geométrica

Exemplo 5: Determine a natureza do sistema:

x + y = 6

x - y = 2

Resolução:

Adicionamos as duas equações:

(x + y) + (x - y) = 6 + 2

2x = 8

x = 4

Substituímos x na primeira equação:

4 + y = 6

y = 6 - 4

y = 2

Resposta: Sistema Possível e Determinado (SPD) com solução (4, 2).

Problematização: Determine a natureza do sistema:

2x - 3y = 6

4x - 6y = 12

Resolução:

Multiplicamos a primeira equação por 2:

4x - 6y = 12

Observamos que a segunda equação é a mesma que a primeira multiplicada por 2, ou seja, as equações são dependentes.

Resposta: Sistema Possível e Indeterminado (SPI).

PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:

1. Resolva a equação 4x - 9 = 15.

   a) x = 2  

   b) x = 4  

   c) x = 6  

   d) x = 3

2. Resolva a equação fracionária (3x - 2)/4 = 5.

   a) x = 4  

   b) x = 6  

   c) x = 7  

   d) x = 8

3. Resolva a equação fracionária 2/x + 5 = 7.

   a) x = 2  

   b) x = 3  

   c) x = 1  

   d) x = 4

4. Determine a interseção da equação 2x + y = 10 com os eixos x e y.

5. Resolva o sistema de equações:

   2x + y = 7  

   3x - y = 8

6. Determine a natureza do sistema de equações a seguir:

   4x - 2y = 10  

   2x - y = 5  

   a) Sistema Possível e Determinado (SPD)  

   b) Sistema Possível e Indeterminado (SPI)  

   c) Sistema Impossível (SI)

7. Resolva a equação do 1º grau:

   5x + 3 = 2x + 12

8. Simplifique e resolva a equação fracionária:

   (3x - 1)/2 = (x + 2)/4

9. Resolva o sistema de equações usando o método da substituição:

   x - 2y = 4  

   3x + y = 9

10. Determine a natureza do sistema de equações a seguir:

    x + 3y = 9  

    2x + 6y = 18