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Estudando Conjuntos
Um conjunto é uma coleção de objetos distintos, chamados de elementos. Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, separados por vírgula e entre chaves.
Exemplos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {a, e, i, o, u}
Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos são conjuntos cujos elementos são números. Alguns conjuntos numéricos importantes são:
Conjunto dos Números Naturais (ℕ): É o conjunto dos números usados para contar e ordenar. ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ): É o conjunto dos números naturais e seus opostos (negativos). ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Números Racionais (ℚ): É o conjunto dos números que podem ser expressos como uma fração de dois números inteiros, onde o denominador é diferente de zero. ℚ = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
Fração Geratriz
Uma fração geratriz é a fração que dá origem a uma dízima periódica. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, utilizamos um método específico.
Exemplo:
A fração geratriz da dízima periódica 0,333... é 1/3.
Conjunto dos Números Irracionais (I): É o conjunto dos números que não podem ser expressos como uma fração de dois números inteiros. São números decimais infinitos e não periódicos. Exemplos: √2, √3, π (pi)
Conjunto dos Números Reais (ℝ): É o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais. É o conjunto mais abrangente que estudamos no ensino fundamental.
Relação entre os Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos estão relacionados entre si da seguinte forma:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Isso significa que:
Todo número natural é também um número inteiro.
Todo número inteiro é também um número racional.
Todo número racional é também um número real.
Aprofunde com exemplos
Exemplos de Conjuntos
Exemplo 1: Dado o conjunto A = {2, 4, 6, 8}, determine se 5 pertence ao conjunto.
Resolução:
O número 5 não pertence ao conjunto A, pois não está listado entre os elementos.
Resposta: 5 não pertence ao conjunto A.
Problematização: Dado o conjunto B = {a, b, c, d}, determine se a letra "e" pertence ao conjunto.
Resolução:
A letra "e" não pertence ao conjunto B, pois não está listada entre os elementos.
Resposta: "e" não pertence ao conjunto B.
Conjuntos Numéricos
**Exemplo 2:** Determine se -3 pertence ao conjunto dos números naturais (ℕ).
Resolução:
O número -3 não pertence ao conjunto dos números naturais, pois ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}.
Resposta: -3 não pertence ao conjunto dos números naturais.
Problematização: Determine se 5 pertence ao conjunto dos números inteiros (ℤ).
Resolução:
O número 5 pertence ao conjunto dos números inteiros, pois ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Resposta: 5 pertence ao conjunto dos números inteiros.
Fração Geratriz
Exemplo 3: Encontre a fração geratriz da dízima periódica 0,666...
Resolução:
Seja x = 0,666...
Multiplicando ambos os lados por 10, temos: 10x = 6,666...
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: 10x - x = 6,666... - 0,666...
Portanto, 9x = 6 e x = 6/9 = 2/3.
Resposta: A fração geratriz de 0,666... é 2/3.
Problematização: Encontre a fração geratriz da dízima periódica 0,454545...
Resolução:
Seja x = 0,454545...
Multiplicando ambos os lados por 100, temos: 100x = 45,454545...
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: 100x - x = 45,454545... - 0,454545...
Portanto, 99x = 45 e x = 45/99 = 5/11.
Resposta: A fração geratriz de 0,454545... é 5/11.
Conjunto dos Números Irracionais
Exemplo 4: Determine se √5 é um número racional ou irracional.
Resolução:
O número √5 é um número irracional, pois não pode ser expresso como uma fração de dois números inteiros.
Resposta: √5 é um número irracional.
Problematização: Determine se 0,141592... (dígitos do π) é um número racional ou irracional.
Resolução:
O número 0,141592... (dígitos do π) é um número irracional, pois π é um número decimal infinito e não periódico.
Resposta: 0,141592... é um número irracional.
Relação entre os Conjuntos Numéricos
Exemplo 5: Dado o número 7, determine a quais conjuntos numéricos ele pertence.
Resolução:
O número 7 pertence ao conjunto dos números naturais (ℕ), inteiros (ℤ), racionais (ℚ) e reais (ℝ).
Resposta: 7 pertence a ℕ, ℤ, ℚ e ℝ.
Problematização: Dado o número -8, determine a quais conjuntos numéricos ele pertence.
Resolução:
O número -8 pertence ao conjunto dos números inteiros (ℤ), racionais (ℚ) e reais (ℝ), mas não pertence ao conjunto dos números naturais (ℕ).
Resposta: -8 pertence a ℤ, ℚ e ℝ.
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Dado o conjunto C = {3, 6, 9, 12}, determine se o número 10 pertence a esse conjunto.
a) Sim
b) Não
2. Qual dos seguintes números pertence ao conjunto dos números naturais (ℕ)?
a) -1
b) 0
c) -5
d) -7
3. Encontre a fração geratriz da dízima periódica 0,727272...
a) 7/9
b) 8/11
c) 9/11
d) 8/9
4. Determine se o número 1/2 é um número racional ou irracional.
a) Racional
b) Irracional
5. Qual dos seguintes números é um número irracional?
a) 3/4
b) 0,333...
c) √7
d) -2
6. Dado o número 15, determine a quais conjuntos numéricos ele pertence.
7. Determine se o número -4 pertence ao conjunto dos números naturais (ℕ) e ao conjunto dos números inteiros (ℤ).
a) Pertence a ℕ e ℤ
b) Não pertence a ℕ, mas pertence a ℤ
c) Não pertence a ℕ e ℤ
d) Pertence a ℕ, mas não a ℤ
8. Encontre a fração geratriz da dízima periódica 0,818181...
a) 4/5
b) 9/11
c) 8/9
d) 9/10
9. Determine se √2 é um número racional ou irracional.
a) Racional
b) Irracional
10. Dado o número -10, determine a quais conjuntos numéricos ele pertence.
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