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A Noção de Função
Uma função é uma relação entre dois conjuntos, chamados de domínio e contradomínio, em que cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio.
O Conceito de Função
Em termos matemáticos, uma função f de um conjunto A em um conjunto B é uma regra que associa cada elemento x de A a um único elemento y de B. Escrevemos y = f(x), que se lê "y é igual a f de x".
Domínio (D): O conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente x.
Contradomínio (CD): O conjunto de todos os valores possíveis para a variável dependente y.
Imagem (Im): O conjunto de todos os valores de y que são de fato atingidos pela função.
Valor de uma Função
O valor de uma função f(x) para um determinado valor de x é o valor de y correspondente, obtido aplicando a regra da função.
Função Afim
Uma função afim é uma função do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Gráfico de uma Função Afim
O gráfico de uma função afim é uma reta.
Coeficiente angular (a): Determina a inclinação da reta. Se a > 0, a função é crescente; se a < 0, a função é decrescente.
Coeficiente linear (b): Determina o ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Função Crescente e Função Decrescente
Função Crescente: Uma função é crescente se, para quaisquer x₁ e x₂ no domínio, com x₁ < x₂, temos f(x₁) < f(x₂).
Função Decrescente: Uma função é decrescente se, para quaisquer x₁ e x₂ no domínio, com x₁ < x₂, temos f(x₁) > f(x₂).
Interseção com o Eixo y
O ponto de interseção do gráfico de uma função afim com o eixo y é dado por (0, b).
Interseção com o Eixo x e Zero da Função Afim
O ponto de interseção do gráfico de uma função afim com o eixo x é chamado de zero da função e é obtido resolvendo a equação f(x) = 0.
Função Quadrática
Uma função quadrática é uma função do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Aprofunde com exemplos
A Noção de Função
Exemplo 1: Considere a função f(x) = 2x + 3. Determine o valor de f(4).
Resolução:
f(4) = 2(4) + 3
f(4) = 8 + 3
f(4) = 11
Resposta: f(4) = 11.
Problematização: Considere a função f(x) = x² - 5x + 6. Determine o valor de f(2).
Resolução:
f(2) = (2)² - 5(2) + 6
f(2) = 4 - 10 + 6
f(2) = 0
Resposta: f(2) = 0.
Função Afim
Exemplo 2: Considere a função afim f(x) = 3x - 4. Determine o ponto de interseção com o eixo y.
Resolução:
Para encontrar o ponto de interseção com o eixo y, fazemos x = 0:
f(0) = 3(0) - 4
f(0) = -4
O ponto de interseção com o eixo y é (0, -4).
Resposta: (0, -4).
Problematização: Considere a função afim f(x) = -2x + 5. Determine o ponto de interseção com o eixo y.
Resolução:
Para encontrar o ponto de interseção com o eixo y, fazemos x = 0:
f(0) = -2(0) + 5
f(0) = 5
O ponto de interseção com o eixo y é (0, 5).
Resposta: (0, 5).
Função Crescente e Função Decrescente
Exemplo 3: Verifique se a função f(x) = 4x - 2 é crescente ou decrescente.
Resolução:
O coeficiente angular é 4, que é positivo, logo a função é crescente.
Resposta: Função crescente.
Problematização: Verifique se a função f(x) = -3x + 7 é crescente ou decrescente.
Resolução:
O coeficiente angular é -3, que é negativo, logo a função é decrescente.
Resposta: Função decrescente.
Interseção com o Eixo x e Zero da Função Afim
Exemplo 4: Determine o zero da função f(x) = 5x - 10.
Resolução:
Para encontrar o zero da função, resolvemos f(x) = 0:
5x - 10 = 0
5x = 10
x = 10 / 5
x = 2
O zero da função é x = 2.
Resposta: x = 2.
Problematização: Determine o zero da função f(x) = 2x + 6.
Resolução:
Para encontrar o zero da função, resolvemos f(x) = 0:
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -6 / 2
x = -3
O zero da função é x = -3.
Resposta: x = -3.
Função Quadrática
Exemplo 5: Considere a função quadrática f(x) = x² - 4x + 3. Determine os pontos de interseção com o eixo x.
Resolução:
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo x, resolvemos f(x) = 0:
x² - 4x + 3 = 0
Fatorando o trinômio:
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1 ou x = 3
Os pontos de interseção com o eixo x são (1, 0) e (3, 0).
Resposta: (1, 0) e (3, 0).
Problematização: Considere a função quadrática f(x) = 2x² - 8x + 6. Determine os pontos de interseção com o eixo x.
Resolução:
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo x, resolvemos f(x) = 0:
2x² - 8x + 6 = 0
Dividindo todos os termos por 2:
x² - 4x + 3 = 0
Fatorando o trinômio:
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1 ou x = 3
Os pontos de interseção com o eixo x são (1, 0) e (3, 0).
Resposta: (1, 0) e (3, 0).
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Considere a função f(x) = 3x + 2. Qual é o valor de f(5)?
a) 17
b) 15
c) 13
d) 11
2. Determine o zero da função f(x) = 4x - 8.
a) x = 2
b) x = -2
c) x = 4
d) x = -4
3. Para a função f(x) = -5x + 10, qual é o ponto de interseção com o eixo y?
a) (0, 5)
b) (0, -5)
c) (0, 10)
d) (0, -10)
4. Verifique se a função f(x) = 7x - 3 é crescente ou decrescente.
a) Crescente
b) Decrescente
c) Constante
d) Nenhuma das anteriores
5. Considere a função quadrática f(x) = x² - 6x + 9. Determine os pontos de interseção com o eixo x.
a) (3, 0) e (-3, 0)
b) (3, 0) e (3, 0)
c) (0, 3) e (3, 0)
d) (3, 0) e (1, 0)
6. Determine o valor de f(0) para a função f(x) = 2x² - 4x + 6.
a) 6
b) 2
c) 8
d) 10
7. Qual é o coeficiente angular da função f(x) = 6x - 7?
a) 6
b) -7
c) 0
d) -6
8. Considere a função f(x) = x² + x - 6. Qual é a soma das raízes dessa função?
a) -1
b) 1
c) 2
d) -2
9. Determine a imagem da função f(x) = -x² + 4x - 3 no intervalo [0, 2].
a) [-3, 1]
b) [-3, 2]
c) [0, 1]
d) [1, 3]
10. Para a função afim f(x) = -2x + 4, qual é o ponto de interseção com o eixo x?
a) (2, 0)
b) (-2, 0)
c) (4, 0)
d) (-4, 0)
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