Proporção

 Proporção

A proporção é uma relação entre duas razões. Se temos duas razões iguais, podemos dizer que formam uma proporção.

Exemplo:

a/b = c/d

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma provoca uma variação na mesma proporção na outra. Se uma dobra, a outra também dobra, e assim por diante.

Exemplo:

Se x e y são diretamente proporcionais, podemos escrever:

y = kx

onde k é uma constante de proporcionalidade.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma provoca uma variação inversamente proporcional na outra. Se uma dobra, a outra é dividida pela metade, por exemplo.

Exemplo:

Se x e y são inversamente proporcionais, podemos escrever:

y = k/x

onde k é uma constante de proporcionalidade.

 Regra de Três e Grandezas Diretamente Proporcionais

A regra de três é uma técnica usada para resolver problemas envolvendo proporções.

Exemplo:

Se 4 maçãs custam R$ 8,00, quanto custarão 10 maçãs?

Podemos montar a proporção:

4/8 = 10/x

Resolvendo a proporção, temos:

4x = 80

x = 20

Portanto, 10 maçãs custarão R$ 20,00.

Regra de Três e Grandezas Inversamente Proporcionais

Para resolver problemas com grandezas inversamente proporcionais, também utilizamos a regra de três, mas considerando a relação inversa.

Exemplo:

Se 5 trabalhadores constroem uma casa em 20 dias, quantos trabalhadores são necessários para construir a mesma casa em 10 dias?

Podemos montar a relação inversa:

5 * 20 = x * 10

Resolvendo, temos:

100 = 10x

x = 10

Portanto, serão necessários 10 trabalhadores para construir a casa em 10 dias.

Rascunho com Exemplos e Explicações

Proporção:

a/b = c/d

Diretamente Proporcionais:

y = kx

Inversamente Proporcionais:

y = k/x

Regra de Três Simples Direta:

1. Identifique as grandezas diretamente proporcionais.

2. Monte a proporção.

3. Resolva a equação para encontrar o valor desconhecido.

Regra de Três Simples Inversa:

1. Identifique as grandezas inversamente proporcionais.

2. Monte a relação inversa.

3. Resolva a equação para encontrar o valor desconhecido.

Exemplos resolvidos

Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões. 

Exemplo:

Se temos a razão 2/3 e a razão 4/6, podemos dizer que elas formam uma proporção, pois:

2/3 = 4/6

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma provoca uma variação na mesma proporção na outra.

Exemplo:

Uma fábrica produz 50 unidades de um produto em 5 horas. Quantas unidades produzirá em 8 horas, mantendo o mesmo ritmo de produção?

Proporção:

50 unidades / 5 horas = x unidades / 8 horas

50/5 = x/8

Resolvendo a proporção:

50 * 8 = 5 * x

400 = 5x

x = 400/5

x = 80

Portanto, a fábrica produzirá 80 unidades em 8 horas.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma provoca uma variação inversamente proporcional na outra.

Exemplo:

Se 4 máquinas fazem um trabalho em 6 horas, quantas máquinas são necessárias para fazer o mesmo trabalho em 3 horas?

Proporção inversa:

4 máquinas * 6 horas = x máquinas * 3 horas

4 * 6 = x * 3

Resolvendo a proporção:

24 = 3x

x = 24/3

x = 8

Portanto, serão necessárias 8 máquinas para fazer o trabalho em 3 horas.

Regra de Três e Grandezas Diretamente Proporcionais

Exemplo:

Se 3 livros custam R$ 27,00, quanto custarão 7 livros?

Proporção:

3 livros / R$ 27 = 7 livros / x

3/27 = 7/x

Resolvendo a proporção:

3x = 27 * 7

3x = 189

x = 189/3

x = 63

Portanto, 7 livros custarão R$ 63,00.

Regra de Três e Grandezas Inversamente Proporcionais

Exemplo:

Se 5 trabalhadores podem concluir uma tarefa em 12 dias, em quantos dias 15 trabalhadores concluirão a mesma tarefa?

Proporção inversa:

5 trabalhadores * 12 dias = 15 trabalhadores * x dias

5 * 12 = 15x

Resolvendo a proporção:

60 = 15x

x = 60/15

x = 4

Portanto, 15 trabalhadores concluirão a tarefa em 4 dias.

Resumo dos Exemplos

Proporção:

2/3 = 4/6

Diretamente Proporcionais:

50 unidades / 5 horas = 80 unidades / 8 horas

Inversamente Proporcionais:

4 máquinas * 6 horas = 8 máquinas * 3 horas

Regra de Três Simples Direta:

3 livros / R$ 27 = 7 livros / R$ 63

Regra de Três Simples Inversa:

5 trabalhadores * 12 dias = 15 trabalhadores * 4 dias

PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:

1. Se 4 maçãs custam R$ 12,00, quanto custarão 7 maçãs?

   a) R$ 21,00  

   b) R$ 18,00  

   c) R$ 28,00  

   d) R$ 14,00

2. **Uma fábrica produz 60 unidades de um produto em 4 horas. Quantas unidades produzirá em 10 horas, mantendo o mesmo ritmo de produção?**

3. Se 5 trabalhadores podem completar uma tarefa em 8 dias, em quantos dias 10 trabalhadores completarão a mesma tarefa?

   a) 16 dias  

   b) 4 dias  

   c) 10 dias  

   d) 2 dias

4. Uma loja vende 3 camisas por R$ 90,00. Quanto custarão 5 camisas?

5. Se 3 máquinas fazem um trabalho em 12 horas, quantas máquinas serão necessárias para fazer o mesmo trabalho em 4 horas? 

   a) 9 máquinas  

   b) 6 máquinas  

   c) 3 máquinas  

   d) 12 máquinas

6. Se 2 livros custam R$ 30,00, quanto custarão 9 livros? Explique o processo.

7. Uma equipe de 8 pessoas pode construir um muro em 15 dias. Quantos dias levará uma equipe de 12 pessoas para construir o mesmo muro?

   a) 10 dias  

   b) 20 dias  

   c) 12 dias  

   d) 8 dias

8. Se 6 litros de gasolina custam R$ 27,00, quanto custarão 10 litros de gasolina?

9. Uma escola tem 20 professores para atender 200 alunos. Se o número de professores aumentar para 25, quantos alunos a escola poderá atender, mantendo a mesma proporção?

   a) 250 alunos  

   b) 225 alunos  

   c) 300 alunos  

   d) 275 alunos

10. Se um carro percorre 150 km com 10 litros de combustível, quantos litros serão necessários para percorrer 375 km?