Proporcionalidade 

Razão e Proporção

• Razão: É a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. É expressa na forma de a/b ou a:b, onde a e b são números e b ≠ 0.

• Proporção: É a igualdade entre duas razões. É expressa na forma de a/b = c/d ou a:b = c:d.

Grandezas Proporcionais

Duas grandezas são proporcionais quando a variação de uma implica na variação da outra. Existem dois tipos de proporcionalidade:

• Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP): Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante. Ou seja, se uma grandeza aumenta (ou diminui), a outra também aumenta (ou diminui) na mesma proporção.

  • Exemplo: Velocidade e distância percorrida (mantendo o tempo constante).

• Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP): Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre elas é constante. Ou seja, se uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa.

  • Exemplo: Número de operários e tempo para realizar uma obra.

Grandezas Não Proporcionais

Nem todas as grandezas são proporcionais. Algumas grandezas podem variar de forma independente, sem que haja uma relação de proporcionalidade entre elas.

• Exemplo: Idade de uma pessoa e número de filhos.

Regra de Três Simples

A regra de três simples é um método prático para resolver problemas de proporcionalidade entre três valores conhecidos e um valor desconhecido.

Regra de Três Simples e Grandezas Diretamente Proporcionais

1. Identifique as grandezas e seus valores.

2. Monte a proporção, mantendo a ordem das grandezas.

3. Multiplique os valores em diagonal e iguale os produtos.

4. Resolva a equação para encontrar o valor desconhecido.

Exemplo:

Se 3 kg de carne custam R$ 45,00, quanto custarão 5 kg de carne?

• 3 kg ---- R$ 45,00

• 5 kg ---- x

3 * x = 5 * 45 3x = 225 x = 75

Portanto, 5 kg de carne custarão R$ 75,00.

Regra de Três Simples e Grandezas Inversamente Proporcionais

1. Identifique as grandezas e seus valores.

2. Monte a proporção, mantendo a ordem das grandezas.

3. Inverta uma das razões.

4. Multiplique os valores em diagonal e iguale os produtos.

5. Resolva a equação para encontrar o valor desconhecido.

Exemplo:

Se 5 operários constroem um muro em 12 dias, quantos dias levarão 3 operários para construir o mesmo muro?

• 5 operários ---- 12 dias

• 3 operários ---- x dias

Invertendo a primeira razão, temos:

• 12 dias ---- 5 operários

• x dias ---- 3 operários

12 * 3 = x * 5 36 = 5x x = 7,2

Portanto, 3 operários levarão 7,2 dias para construir o mesmo muro.

Aprofunde com exemplos 

Razão e Proporção

Exemplo 1: Determine a razão entre 8 e 4.

Resolução:

A razão entre 8 e 4 pode ser expressa como 8/4 ou 8:4.

Simplificando, temos 8/4 = 2.

Resposta: A razão é 2.

Problematização: Determine a razão entre 15 e 3.

Resolução:

A razão entre 15 e 3 pode ser expressa como 15/3 ou 15:3.

Simplificando, temos 15/3 = 5.

Resposta: A razão é 5.

Exemplo 2: Verifique se a proporção 2/3 = 4/6 é verdadeira.

Resolução:

Simplificando 4/6, temos 4/6 = 2/3.

Portanto, a proporção 2/3 = 4/6 é verdadeira.

Resposta: Verdadeira.

Problematização: Verifique se a proporção 5/10 = 2/4 é verdadeira.

Resolução:

Simplificando 5/10, temos 5/10 = 1/2.

Simplificando 2/4, temos 2/4 = 1/2.

Portanto, a proporção 5/10 = 2/4 é verdadeira.

Resposta: Verdadeira.

Grandezas Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP):

Exemplo 3: Se um carro percorre 100 km em 2 horas, quanto percorrerá em 5 horas mantendo a mesma velocidade?

Resolução:

100 km / 2 h = x km / 5 h

Multiplicando em cruz, temos:

2x = 100 * 5

2x = 500

x = 250

Resposta: O carro percorrerá 250 km em 5 horas.

Problematização: Se 6 litros de gasolina custam R$ 30,00, quanto custarão 10 litros?

Resolução:

6 L / R$ 30,00 = 10 L / x

Multiplicando em cruz, temos:

6x = 30 * 10

6x = 300

x = 50

Resposta: 10 litros de gasolina custarão R$ 50,00.

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP):

Exemplo 4: Se 4 máquinas produzem 200 peças em 5 horas, quantas peças serão produzidas por 2 máquinas no mesmo tempo?

Resolução:

4 máquinas / 200 peças = 2 máquinas / x peças

Invertendo a primeira razão, temos:

5 h / 200 peças = 5 h / x peças

Multiplicando em cruz, temos:

4x = 200 * 2

4x = 400

x = 100

Resposta: 2 máquinas produzirão 100 peças em 5 horas.

Problematização: Se 8 trabalhadores constroem uma parede em 10 dias, quantos dias levarão 4 trabalhadores para construir a mesma parede?

Resolução:

8 trabalhadores / 10 dias = 4 trabalhadores / x dias

Invertendo a primeira razão, temos:

10 dias / 8 trabalhadores = x dias / 4 trabalhadores

Multiplicando em cruz, temos:

8x = 10 * 4

8x = 40

x = 5

Resposta: 4 trabalhadores levarão 5 dias para construir a parede.

Grandezas Não Proporcionais

Exemplo 5: Determine se a idade de uma pessoa e o número de filhos são grandezas proporcionais.

Resolução:

A idade de uma pessoa e o número de filhos não são grandezas proporcionais, pois a variação de uma não implica na variação proporcional da outra.

Resposta: Não são proporcionais.

Problematização: Determine se a quantidade de horas estudadas e o resultado em uma prova são grandezas proporcionais.

Resolução:

A quantidade de horas estudadas e o resultado em uma prova não são necessariamente proporcionais, pois o desempenho em uma prova depende de vários fatores, não apenas do tempo de estudo.

Resposta: Não são proporcionais.

Regra de Três Simples

Grandezas Diretamente Proporcionais:

Exemplo 6: Se 4 kg de arroz custam R$ 20,00, quanto custarão 7 kg de arroz?

Resolução:

4 kg / R$ 20,00 = 7 kg / x

Multiplicando em cruz, temos:

4x = 20 * 7

4x = 140

x = 35

Resposta: 7 kg de arroz custarão R$ 35,00.

Problematização: Se 3 metros de tecido custam R$ 45,00, quanto custarão 8 metros de tecido?

Resolução:

3 m / R$ 45,00 = 8 m / x

Multiplicando em cruz, temos:

3x = 45 * 8

3x = 360

x = 120

Resposta: 8 metros de tecido custarão R$ 120,00.

Grandezas Inversamente Proporcionais:

Exemplo 7: Se 6 trabalhadores constroem uma casa em 9 dias, quantos dias levarão 4 trabalhadores para construir a mesma casa?

Resolução:

6 trabalhadores / 9 dias = 4 trabalhadores / x dias

Invertendo a primeira razão, temos:

9 dias / 6 trabalhadores = x dias / 4 trabalhadores

Multiplicando em cruz, temos:

6x = 9 * 4

6x = 36

x = 6

Resposta: 4 trabalhadores levarão 6 dias para construir a casa.

Problematização: Se 10 funcionários produzem 1000 peças em 5 horas, quantas peças serão produzidas por 5 funcionários no mesmo tempo?

Resolução:

10 funcionários / 1000 peças = 5 funcionários / x peças

Invertendo a primeira razão, temos:

5 h / 1000 peças = 5 h / x peças

Multiplicando em cruz, temos:

10x = 1000 * 5

10x = 5000

x = 500

Resposta: 5 funcionários produzirão 500 peças em 5 horas.

PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:

1. Determine a razão entre 12 e 4.

   a) 2  

   b) 3  

   c) 4  

   d) 6

2. Verifique se a proporção 3/9 = 4/12 é verdadeira.

   a) Verdadeira  

   b) Falsa

3. Se 5 kg de farinha custam R$ 20,00, quanto custarão 8 kg de farinha?

   a) R$ 28,00  

   b) R$ 30,00  

   c) R$ 32,00  

   d) R$ 35,00

4. Determine se a proporção 7/21 = 10/30 é verdadeira.

   a) Verdadeira  

   b) Falsa

5. Se 6 litros de óleo custam R$ 54,00, quanto custarão 10 litros? 

   (Resposta dissertativa)

6. Se 3 trabalhadores completam uma tarefa em 15 dias, em quantos dias 5 trabalhadores completarão a mesma tarefa?

   (Resposta dissertativa)

7. Se 4 máquinas produzem 240 peças em 6 horas, quantas peças serão produzidas por 3 máquinas no mesmo tempo? 

   (Resposta dissertativa)

8. Se 7 metros de tecido custam R$ 91,00, quanto custarão 4 metros de tecido? 

   a) R$ 48,00  

   b) R$ 52,00  

   c) R$ 56,00  

   d) R$ 58,00

9. Se 5 operários constroem uma parede em 10 dias, quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 6 dias?

   (Resposta dissertativa)

10. Determine se a altura de uma pessoa e o número de sapatos que ela possui são grandezas proporcionais.

    (Resposta dissertativa)