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Potenciação
A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação repetida de um número por ele mesmo. A potência é composta por:
Base: o número que será multiplicado por ele mesmo.
Expoente: o número de vezes que a base será multiplicada.
Potência com Expoente Natural
Quando o expoente é um número natural (positivo e não nulo), a potência representa a multiplicação da base por ela mesma tantas vezes quanto o valor do expoente.
Exemplo:
3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Potência com Expoente Negativo
Quando o expoente é um número inteiro negativo, a potência representa o inverso da potência com o expoente correspondente positivo.
Exemplo:
5⁻² = 1 / 5² = 1 / 25
Propriedades das Potências
Produto de potências de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Exemplo: 2³ x 2² = 2⁵
Quociente de potências de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
Exemplo: 3⁵ / 3² = 3³
Potência de potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Exemplo: (4²)³ = 4⁶
Potência de um produto: É igual ao produto das potências de cada fator.
Exemplo: (2 x 3)² = 2² x 3²
Potência de um quociente: É igual ao quociente das potências de cada fator.
Exemplo: (6 / 2)³ = 6³ / 2³
Potências de Base 10
As potências de base 10 são utilizadas para representar números muito grandes ou muito pequenos de forma mais compacta.
Exemplo:
10³ = 1000 10⁻² = 0,01
Notação Científica
A notação científica é uma forma de representar números muito grandes ou muito pequenos utilizando potências de base 10. Um número em notação científica é escrito na forma:
a x 10ⁿ
Onde:
1 ≤ a < 10
n é um número inteiro
Exemplo:
3.500.000 = 3,5 x 10⁶
Raízes
A radiciação é a operação inversa da potenciação. A raiz de um número é o valor que, elevado ao índice da raiz, resulta no número original.
Cálculo da Raiz Exata de um Número Natural
Para calcular a raiz exata de um número natural, buscamos um número que, elevado ao índice da raiz, resulte no número original.
Exemplo:
√16 = 4, pois 4² = 16
Cálculo da Raiz Aproximada de um Número Natural
Nem sempre é possível calcular a raiz exata de um número natural. Nesse caso, podemos encontrar um valor aproximado utilizando métodos como a fatoração ou a calculadora.
Potências com Expoente Fracionário
Uma potência com expoente fracionário representa uma raiz.
Exemplo:
4^(1/2) = √4 = 2
4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8
Aprofunde com exemplos
Potenciação
Exemplo 1: Calcule 2⁵.
Resolução:
2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Resposta: 32.
Problematização: Calcule 4³.
Resolução:
4³ = 4 x 4 x 4 = 64
Resposta: 64.
Potência com Expoente Negativo
Exemplo 2: Calcule 3⁻².
Resolução:
3⁻² = 1 / 3² = 1 / 9
Resposta: 1/9.
Problematização: Calcule 2⁻³.
Resolução:
2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8
Resposta: 1/8.
Propriedades das Potências
Produto de potências de mesma base:
Exemplo 3: Calcule 5³ x 5².
Resolução:
5³ x 5² = 5^(3+2) = 5⁵ = 3125
Resposta: 3125.
Problematização: Calcule 7⁴ x 7¹.
Resolução:
7⁴ x 7¹ = 7^(4+1) = 7⁵
Resposta: 7⁵.
Quociente de potências de mesma base:
Exemplo 4: Calcule 6⁴ / 6².
Resolução:
6⁴ / 6² = 6^(4-2) = 6² = 36
Resposta: 36.
Problematização: Calcule 9⁵ / 9³.
Resolução:
9⁵ / 9³ = 9^(5-3) = 9²
Resposta: 9².
Potência de potência:
Exemplo 5: Calcule (3²)³.
Resolução:
(3²)³ = 3^(2x3) = 3⁶ = 729
Resposta: 729.
Problematização: Calcule (2³)².
Resolução:
(2³)² = 2^(3x2) = 2⁶
Resposta: 2⁶.
Potência de um produto:
Exemplo 6: Calcule (2 x 4)².
Resolução:
(2 x 4)² = 2² x 4² = 4 x 16 = 64
Resposta: 64.
Problematização: Calcule (3 x 5)³.
Resolução:
(3 x 5)³ = 3³ x 5³ = 27 x 125
Resposta: 3375.
Potência de um quociente:
Exemplo 7: Calcule (8 / 2)³.
Resolução:
(8 / 2)³ = 8³ / 2³ = 512 / 8 = 64
Resposta: 64.
Problematização: Calcule (9 / 3)².
Resolução:
(9 / 3)² = 9² / 3² = 81 / 9 = 9
Resposta: 9.
Potências de Base 10
Exemplo 8: Calcule 10⁴.
Resolução:
10⁴ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
Resposta: 10000.
Problematização: Calcule 10⁻³.
Resolução:
10⁻³ = 1 / 10³ = 1 / 1000 = 0,001
Resposta: 0,001.
Notação Científica
Exemplo 9: Converta 4500000 para notação científica.
Resolução:
4500000 = 4,5 x 10⁶
Resposta: 4,5 x 10⁶.
Problematização: Converta 0,00032 para notação científica.
Resolução:
0,00032 = 3,2 x 10⁻⁴
Resposta: 3,2 x 10⁻⁴.
Raízes
Exemplo 10: Calcule a raiz quadrada de 64.
Resolução:
√64 = 8, pois 8² = 64
Resposta: 8.
Problematização: Calcule a raiz cúbica de 27.
Resolução:
∛27 = 3, pois 3³ = 27
Resposta: 3.
Potências com Expoente Fracionário
Exemplo 11: Calcule 16^(1/2).
Resolução:
16^(1/2) = √16 = 4
Resposta: 4.
Problematização: Calcule 8^(2/3).
Resolução:
8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4
Resposta: 4.
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Calcule 5³.
a) 15
b) 25
c) 125
d) 225
2. Calcule 2⁻⁴.
a) 1/4
b) 1/8
c) 1/16
d) 1/32
3. Simplifique (3²)⁴.
a) 3⁶
b) 3⁸
c) 3¹²
d) 3¹⁶
4. Calcule 10⁻².
a) 0,01
b) 0,1
c) 1
d) 10
5. Converta 530000 para notação científica.
a) 5,3 x 10⁴
b) 5,3 x 10⁵
c) 5,3 x 10⁶
d) 53 x 10⁵
6. Calcule a raiz quadrada de 81.
7. Simplifique 4³ x 4⁻¹.
a) 4
b) 16
c) 64
d) 256
8. Calcule 7² / 7³.
a) 1/7
b) 7
c) 49
d) 343
9. Calcule (2 x 5)².
a) 10
b) 50
c) 100
d) 400
10. Calcule 27^(2/3).
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