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Relembrando Potenciação
A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação repetida de um número por ele mesmo. A potência é composta por:
Base: o número que será multiplicado por ele mesmo.
Expoente: indica quantas vezes a base será multiplicada.
Exemplo: 3⁴ (lê-se "três elevado à quarta potência") significa 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
Potências com Expoente Negativo
Quando o expoente é negativo, a potência representa o inverso da potência com expoente positivo correspondente.
Exemplo: 5⁻² = 1 / 5² = 1/25
Propriedades das Potências
Produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes. (aᵐ x aⁿ = aᵐ⁺ⁿ)
Quociente de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ)
Potência de potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. ((aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ)
Potência de um produto: é igual ao produto das potências de cada fator. ((a x b)ᵐ = aᵐ x bᵐ)
Potência de um quociente: é igual ao quociente das potências de cada fator. ((a / b)ᵐ = aᵐ / bᵐ)
Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação. A raiz de um número é o valor que, elevado ao índice da raiz, resulta no número original.
Raiz enésima
A raiz enésima de um número "a" é o valor "b" que, elevado a "n", resulta em "a". Representamos por: ⁿ√a = b, onde "n" é o índice da raiz.
Potências com Expoente Fracionário
Uma potência com expoente fracionário representa uma raiz.
Exemplo: 8^(1/3) = ³√8 = 2 (pois 2³ = 8)
Propriedades dos Radicais
Raiz de um produto: é igual ao produto das raízes de cada fator. (ⁿ√(a x b) = ⁿ√a x ⁿ√b)
Raiz de um quociente: é igual ao quociente das raízes de cada fator. (ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b)
Simplificação de Radicais
Simplificar um radical significa encontrar um radical equivalente com o menor índice e radicando possíveis.
Operações com Radicais
Adição e Subtração: Só podemos somar ou subtrair radicais semelhantes (mesmo índice e mesmo radicando).
Multiplicação e Divisão: Multiplicamos ou dividimos os radicandos, mantendo o mesmo índice.
Racionalização
Racionalizar uma fração com denominador irracional significa transformá-la em uma fração equivalente com denominador racional.
Aprofunde com exemplos
Potenciação
Exemplo 1: Calcule 4³.
Resolução:
4³ = 4 x 4 x 4 = 64
Resposta: 64.
Problematização: Calcule 2⁵.
Resolução:
2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Resposta: 32.
Potências com Expoente Negativo
Exemplo 2: Calcule 3⁻².
Resolução:
3⁻² = 1 / 3² = 1 / 9
Resposta: 1/9.
Problematização: Calcule 4⁻³.
Resolução:
4⁻³ = 1 / 4³ = 1 / 64
Resposta: 1/64.
Propriedades das Potências
Produto de potências de mesma base:
Exemplo 3: Calcule 2³ x 2².
Resolução:
2³ x 2² = 2^(3+2) = 2⁵ = 32
Resposta: 32.
Problematização: Calcule 5² x 5³.
Resolução:
5² x 5³ = 5^(2+3) = 5⁵
Resposta: 5⁵.
Quociente de potências de mesma base:
Exemplo 4: Calcule 6⁴ / 6².
Resolução:
6⁴ / 6² = 6^(4-2) = 6² = 36
Resposta: 36.
Problematização: Calcule 9⁵ / 9³.
Resolução:
9⁵ / 9³ = 9^(5-3) = 9²
Resposta: 9².
Potência de potência:
Exemplo 5: Calcule (2³)².
Resolução:
(2³)² = 2^(3x2) = 2⁶ = 64
Resposta: 64.
Problematização: Calcule (3²)³.
Resolução:
(3²)³ = 3^(2x3) = 3⁶
Resposta: 3⁶.
Potência de um produto:
Exemplo 6: Calcule (2 x 3)².
Resolução:
(2 x 3)² = 2² x 3² = 4 x 9 = 36
Resposta: 36.
Problematização: Calcule (4 x 5)³.
Resolução:
(4 x 5)³ = 4³ x 5³ = 64 x 125
Resposta: 64 x 125.
Potência de um quociente:
Exemplo 7: Calcule (8 / 2)³.
Resolução:
(8 / 2)³ = 8³ / 2³ = 512 / 8 = 64
Resposta: 64.
Problematização: Calcule (9 / 3)².
Resolução:
(9 / 3)² = 9² / 3² = 81 / 9 = 9
Resposta: 9.
Radiciação
Exemplo 8: Calcule a raiz quadrada de 49.
Resolução:
√49 = 7, pois 7² = 49
Resposta: 7.
Problematização: Calcule a raiz cúbica de 27.
Resolução:
∛27 = 3, pois 3³ = 27
Resposta: 3.
Potências com Expoente Fracionário
Exemplo 9: Calcule 16^(1/2).
Resolução:
16^(1/2) = √16 = 4
Resposta: 4.
Problematização: Calcule 8^(2/3).
Resolução:
8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4
Resposta: 4.
Propriedades dos Radicais
Raiz de um produto:
Exemplo 10: Calcule √(16 x 25).
Resolução:
√(16 x 25) = √16 x √25 = 4 x 5 = 20
Resposta: 20.
Problematização: Calcule √(9 x 4).
Resolução:
√(9 x 4) = √9 x √4 = 3 x 2 = 6
Resposta: 6.
Raiz de um quociente:
Exemplo 11: Calcule √(36 / 4).
Resolução:
√(36 / 4) = √36 / √4 = 6 / 2 = 3
Resposta: 3.
Problematização: Calcule ∛(64 / 8).
Resolução:
∛(64 / 8) = ∛64 / ∛8 = 4 / 2 = 2
Resposta: 2.
Simplificação de Radicais
Exemplo 12: Simplifique √50.
Resolução:
√50 = √(25 x 2) = √25 x √2 = 5√2
Resposta: 5√2.
Problematização: Simplifique ∛54.
Resolução:
∛54 = ∛(27 x 2) = ∛27 x ∛2 = 3∛2
Resposta: 3∛2.
Operações com Radicais
Exemplo 13: Some 2√3 e 3√3.
Resolução:
2√3 + 3√3 = (2 + 3)√3 = 5√3
Resposta: 5√3.
Problematização: Subtraia 5√2 de 8√2.
Resolução:
8√2 - 5√2 = (8 - 5)√2 = 3√2
Resposta: 3√2.
Exemplo 14: Multiplique √2 por √8.
Resolução:
√2 x √8 = √(2 x 8) = √16 = 4
Resposta: 4.
Problematização: Divida √18 por √2.
Resolução:
√18 / √2 = √(18 / 2) = √9 = 3
Resposta: 3.
Racionalização
Exemplo 15: Racionalize a fração 1 / √3.
Resolução:
Multiplicamos numerador e denominador por √3:
1 / √3 x √3 / √3 = √3 / 3
Resposta: √3 / 3.
Problematização: Racionalize a fração 1 / √5.
Resolução:
Multiplicamos numerador e denominador por √5:
1 / √5 x √5 / √5 = √5 / 5
Resposta: √5 / 5.
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Calcule 2³.
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
2. Qual é o valor de 5⁻²?
a) 1/25
b) 1/5
c) 25
d) 5
3. Simplifique a expressão 2² x 2³.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 32
4. Calcule 9⁴ / 9².
a) 9
b) 81
c) 243
d) 729
5. Qual é o resultado de (3²)³?
a) 9
b) 27
c) 729
d) 81
6. Calcule a expressão (4 x 5)².
a) 80
b) 400
c) 1600
d) 100
7. Calcule a raiz quadrada de 64.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
8. Qual é o valor de 16^(1/4)?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
9. Simplifique a raiz quadrada de 72.
a) 6√2
b) 8√2
c) 4√3
d) 6√3
10. Some 3√5 e 7√5.
a) 8√5
b) 10√5
c) 5√5
d) 12√5
11. Qual é o valor de √(49/16)?
a) 7/4
b) 9/4
c) 5/4
d) 3/4
12. Racionalize a fração 1 / √2.
a) √2 / 2
b) √3 / 2
c) 2 / √2
d) 1 / √3
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