MDC 

O MDC (Máximo Divisor Comum) é um conceito matemático utilizado para encontrar o maior número que divide dois ou mais números inteiros sem deixar resto. Também é conhecido como GCD (Greatest Common Divisor) em inglês.

O conjunto de divisores de um número é o conjunto de todos os números inteiros que dividem esse número sem deixar resto. Por exemplo, os divisores do número 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

Para calcular o MDC usando o conjunto de divisores, você precisa encontrar todos os divisores comuns entre dois ou mais números e selecionar o maior divisor comum.

Exemplo:

Vamos encontrar o MDC de 24 e 36 usando o conjunto de divisores.

Os divisores de 24 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Os divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.

Os divisores comuns a ambos os números são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

Portanto, o MDC(24, 36) é o maior divisor comum desses números, que é 12.

Embora o método do conjunto de divisores possa ser útil para visualizar os divisores comuns, ele não é tão eficiente quanto o método da fatoração ou o algoritmo de Euclides quando se trata de encontrar o MDC de números grandes. Por isso, esses métodos são mais amplamente utilizados.

O MDC pode ser calculado usando vários métodos, sendo os mais comuns o método da fatoração e o algoritmo de Euclides.

Método da fatoração:

Nesse método, os números são decompostos em fatores primos e, em seguida, o MDC é calculado multiplicando-se os fatores primos comuns elevados ao menor expoente.

Exemplo:

Vamos encontrar o MDC de 24 e 36 usando o método da fatoração.

Primeiro, decomponha os números em fatores primos:

24 = 2³ * 3¹

36 = 2² * 3²

Agora, multiplique os fatores primos comuns elevados ao menor expoente:

MDC(24, 36) = 2² * 3¹ = 12

Portanto, o MDC de 24 e 36 é 12.

Algoritmo de Euclides:

O algoritmo de Euclides é um método eficiente para encontrar o MDC de dois números inteiros. Ele se baseia na observação de que, se o resto da divisão de um número 'a' por um número 'b' é zero, então 'b' é o MDC dos números 'a' e 'b'. Caso contrário, o MDC é o mesmo que o MDC de 'b' e o resto da divisão de 'a' por 'b'. Esse processo é repetido até que o resto seja zero.

Exemplo:

Vamos encontrar o MDC de 48 e 60 usando o algoritmo de Euclides.

Dividindo 60 por 48, temos:

60 = 48 * 1 + 12

Agora, dividindo 48 por 12, temos:

48 = 12 * 4 + 0

O resto da divisão é zero, portanto, o MDC(48, 60) é igual ao divisor anterior, que é 12.

Portanto, o MDC de 48 e 60 é 12.

O MDC é um conceito importante em matemática e é frequentemente usado em várias áreas, como teoria dos números, álgebra e criptografia. Ele tem diversas aplicações práticas, como simplificar frações, encontrar a fração irredutível, resolver equações diofantinas e muito mais.

ATENÇÃO 

Para diferenciar uma situação problema que será resolvida com o mínimo múltiplo comum (MMC) ou o máximo divisor comum (MDC), é importante entender a natureza da pergunta e o que está sendo solicitado.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC):

   - O MMC é usado quando você precisa encontrar o menor múltiplo comum entre dois ou mais números.

   - Exemplos de situações onde o MMC é aplicado incluem:

     - Encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números para determinar o momento em que eles se repetem juntos.

     - Resolver problemas de divisão igual entre grupos ou partes.

     - Determinar o período de um fenômeno cíclico, como o encontro de dois objetos em um ponto específico em uma roda.

Máximo Divisor Comum (MDC):

   - O MDC é usado quando você precisa encontrar o maior divisor comum entre dois ou mais números.

   - Exemplos de situações onde o MDC é aplicado incluem:

     - Simplificar frações, encontrando o maior fator comum entre o numerador e o denominador.

     - Resolver problemas envolvendo divisão igual de itens ou objetos em grupos, garantindo que não haja itens restantes.

     - Encontrar a quantidade máxima de divisores comuns entre dois números.

1. Qual é o MDC dos números 18 e 24?

a) 3      b) 6        c) 9           d) 12

2. Qual é o MDC dos números 36 e 48?

a) 4             b) 6           c) 8           d) 12

3. Qual é o MDC dos números 45 e 60?

a) 5          b) 10            c) 15            d) 20

4. Qual é o MDC dos números 27 e 36?

a) 3            b) 6         c) 9            d) 12

5. Qual é o MDC dos números 64 e 128?

a) 8             b) 16           c) 32             d) 64

6. Qual é o MDC dos números 72 e 120?

a) 6       b) 12           c) 18          d) 24

7. Qual é o MDC dos números 90 e 144?

a) 6        b) 12         c) 18          d) 36

8. Qual é o MDC dos números 81 e 108?

a) 3         b) 9          c) 12          d) 27

9. Qual é o MDC dos números 75 e 100?

a) 5            b) 10       c) 15           d) 25

10. Qual é o MDC dos números 50 e 75?

a) 5        b) 10          c) 15          d) 25

Respostas:

1. b) 6

2. d) 12

3. c) 15

4. c) 9

5. d) 64

6. d) 24

7. c) 18

8. d) 27

9. d) 25

10. d) 2

VAMOS TREINAR EM SITUAÇÕES PROBLEMA:

1. Lucas está organizando uma festa de aniversário e quer distribuir os enfeites em arranjos com o maior número de enfeites possível, sem deixar sobras. Ele tem 15 balões e 20 fitas para decorar. Qual é o maior número de arranjos que ele pode fazer?

   a) 1

   b) 2

   c) 3

   d) 5

2. Ana está organizando uma competição entre duas equipes. Ela quer que todas as equipes tenham o mesmo número de participantes e que não sobre nenhum participante sem equipe. Se a primeira equipe tem 18 pessoas e a segunda equipe tem 24 pessoas, qual é o maior número de equipes que ela pode formar?

   a) 2

   b) 3

   c) 4

   d) 6

3. Um fazendeiro tem uma horta com 36 pés de alface e 48 pés de cenoura. Ele quer fazer canteiros retangulares com a maior área possível, utilizando apenas uma espécie de planta em cada canteiro. Qual é a maior área que ele pode obter?

   a) 36 m²

   b) 48 m²

   c) 72 m²

   d) 144 m²

4. Carlos tem um terreno retangular de 24 metros de largura e 36 metros de comprimento. Ele quer cercar todo o terreno com o maior número possível de cercas retangulares iguais, sem sobrar nenhuma parte do terreno sem cercar. Qual é o maior número de cercas que ele pode utilizar?

   a) 6

   b) 8

   c) 12

   d) 24

5. Uma empresa precisa embalar 36 bolas e 48 cubos em caixas. Eles querem colocar o mesmo número de bolas e cubos em cada caixa, sem deixar sobras. Qual é o maior número de caixas que eles podem embalar?

   a) 6

   b) 12

   c) 18

   d) 24

6. Uma família quer distribuir igualmente seus 48 chocolates em saquinhos, de forma que todos os saquinhos tenham o mesmo número de chocolates, sem deixar sobras. Qual é o maior número de saquinhos que eles podem fazer?

   a) 4

   b) 6

   c) 8

   d) 12

7. Um produtor tem 24 melancias e 36 abóboras. Ele quer fazer cestas com o maior número de frutas possível, colocando apenas um tipo de fruta em cada cesta. Qual é o maior número de cestas que ele pode fazer?

   a) 12

   b) 24

   c) 36

   d) 48

8. João tem um jardim retangular de 60 metros de largura e 90 metros de comprimento. Ele quer fazer canteiros quadrados com a maior área possível, utilizando todo o espaço do jardim. Qual é a maior área que ele pode obter?

   a) 900 m²

   b) 1800 m²

   c) 2700 m²

   d) 5400 m²

9. Uma empresa de reciclagem possui 60 kg de papelão e 72 kg de plástico. Eles querem separar o material em pacotes com o maior peso possível, colocando apenas um tipo de material em cada pacote. Qual é o maior peso que cada pacote pode ter?

   a) 6 kg

   b) 12 kg

   c) 18 kg

   d) 24 kg

10. Rafaela está organizando um torneio de xadrez e quer formar o maior número possível de partidas, de forma que todos os jogadores participem do mesmo número de partidas e não haja jogadores sem adversário. Se ela tem 12 jogadores, qual é o maior número de partidas que ela pode realizar?

   a) 6

   b) 12

   c) 18

   d) 24