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Quadrado da soma e da diferença de dois termos
O quadrado da soma de dois termos é uma expressão algébrica que representa o resultado de elevar ao quadrado a soma de dois termos. Se tivermos dois termos "a" e "b", o quadrado da soma deles é dado por (a + b)^2.
O quadrado da diferença de dois termos é outra expressão algébrica que representa o resultado de elevar ao quadrado a diferença entre esses dois termos. Se tivermos os mesmos termos "a" e "b", o quadrado da diferença entre eles é dado por (a - b)^2.
Vamos calcular o quadrado da soma e da diferença dos termos "a" e "b":
Quadrado da soma de a e b: (a + b)^2
O quadrado da soma é calculado multiplicando a soma dos dois termos pelo resultado da própria soma:
(a + b)^2 = (a + b) * (a + b) = a^2 + 2ab + b^2
Quadrado da diferença entre a e b: (a - b)^2
O quadrado da diferença é calculado multiplicando a diferença entre os dois termos pelo resultado da própria diferença:
(a - b)^2 = (a - b) * (a - b) = a^2 - 2ab + b^2
É importante notar que os quadrados da soma e da diferença de dois termos têm formatos diferentes e não são iguais. Eles diferem pelo sinal do termo do meio (2ab no caso do quadrado da soma e -2ab no caso do quadrado da diferença).
Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença de dois termos é uma expressão algébrica que resulta do produto entre a soma e a diferença de dois termos "a" e "b". Essa expressão é útil em fatorações, conhecida como a fórmula da diferença de quadrados.
Se tivermos os termos "a" e "b", o produto da soma pela diferença entre eles é dado por:
(a + b)(a - b)
Vamos calcular o produto da soma pela diferença dos termos "a" e "b":
(a + b)(a - b) = a * a - a * b + b * a - b * b
= a^2 - ab + ba - b^2
Note que "ba" é o mesmo que "ab", pois a multiplicação de números não é afetada pela ordem. Assim, simplificamos para:
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2
E finalmente:
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Portanto, o produto da soma pela diferença de dois termos "a" e "b" é igual a "a^2 - b^2". Essa é a fórmula da diferença de quadrados, que é usada para fatorar expressões polinomiais que seguem esse padrão.
Cubo da soma e da diferença de dois termos
O cubo da soma e da diferença de dois termos é uma expressão algébrica que representa o resultado de elevar ao cubo a soma e a diferença de dois termos "a" e "b".
Cubo da soma de a e b: (a + b)^3
O cubo da soma é calculado multiplicando o resultado da soma ao quadrado pela própria soma:
(a + b)^3 = (a + b)^2 * (a + b) = (a^2 + 2ab + b^2) * (a + b)
Para expandir essa expressão, podemos usar a distributiva e multiplicar cada termo do primeiro parêntese pelo segundo parêntese:
(a + b)^3 = a^2 * (a + b) + 2ab * (a + b) + b^2 * (a + b)
Agora, aplicamos a distributiva novamente:
(a + b)^3 = a^3 + ab^2 + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3
Simplificando os termos semelhantes:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Cubo da diferença entre a e b: (a - b)^3
O cubo da diferença é calculado da mesma forma que o cubo da soma, multiplicando o resultado da diferença ao quadrado pela própria diferença:
(a - b)^3 = (a - b)^2 * (a - b) = (a^2 - 2ab + b^2) * (a - b)
Para expandir essa expressão, mais uma vez, podemos usar a distributiva e multiplicar cada termo do primeiro parêntese pelo segundo parêntese:
(a - b)^3 = a^2 * (a - b) - 2ab * (a - b) + b^2 * (a - b)
Agora, aplicamos a distributiva novamente:
(a - b)^3 = a^3 - ab^2 - 2a^2b + 2ab^2 - ab^2 + b^3
Simplificando os termos semelhantes:
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Portanto, o cubo da soma de "a" e "b" é igual a "a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3", e o cubo da diferença entre "a" e "b" é igual a "a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3".
Fator comum em evidência
O fator comum em evidência é uma técnica utilizada na álgebra para simplificar expressões polinomiais identificando e fatorando o maior fator comum de todos os termos da expressão. Essa técnica é útil para simplificar expressões e encontrar seus fatores comuns.
Vamos considerar um exemplo para demonstrar como encontrar o fator comum em evidência:
Exemplo:
Vamos simplificar a expressão 3x^2 + 6x.
Passo 1: Identificar os termos e seus coeficientes.
Nesta expressão, temos dois termos: 3x^2 e 6x.
Passo 2: Identificar o maior fator comum dos coeficientes.
O maior fator comum dos coeficientes 3 e 6 é 3.
Passo 3: Escrever o fator comum em evidência.
Agora, escrevemos o fator comum em evidência, dividindo cada termo pelo fator comum encontrado (3):
3x^2 + 6x = 3 * (x^2 + 2x)
Neste exemplo, o fator comum em evidência é "3", e a expressão fatorada é "3 * (x^2 + 2x)".
A fatoração por fator comum em evidência pode ser mais complexa quando há mais termos e variáveis envolvidas, mas o processo é o mesmo. Basta identificar o maior fator comum de todos os coeficientes e escrever esse fator comum em evidência, dividindo cada termo pela quantidade encontrada.
Diferença de dois quadrados
A diferença de dois quadrados é uma fatoração especial que ocorre quando temos uma expressão polinomial com a forma "a^2 - b^2". Essa expressão pode ser fatorada de forma simples, utilizando a fórmula da diferença de quadrados.
A fórmula da diferença de quadrados é dada por:
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Essa fatoração é útil para simplificar e resolver certos tipos de problemas em álgebra. Vamos considerar um exemplo para demonstrar como usar a fórmula da diferença de quadrados:
Exemplo:
Fatorar a expressão 16x^2 - 9y^2.
Passo 1: Identificar "a" e "b".
Neste caso, "a" é 4x (raiz quadrada de 16x^2) e "b" é 3y (raiz quadrada de 9y^2).
Passo 2: Escrever a fatoração usando a fórmula da diferença de quadrados.
Aplicando a fórmula, temos:
16x^2 - 9y^2 = (4x + 3y)(4x - 3y)
Portanto, a expressão 16x^2 - 9y^2 pode ser fatorada em (4x + 3y)(4x - 3y) usando a fórmula da diferença de quadrados.
É importante notar que a fatoração da diferença de dois quadrados só é aplicável quando temos uma expressão da forma "a^2 - b^2". Se a expressão não se encaixar nesse formato, outras técnicas de fatoração podem ser necessárias.
Trinômio quadrado perfeito
Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão algébrica que pode ser fatorada na forma de um binômio ao quadrado. Em outras palavras, um trinômio é considerado um quadrado perfeito se cada um dos seus termos pode ser obtido ao elevar ao quadrado um binômio.
O padrão geral de um trinômio quadrado perfeito é:
a^2 + 2ab + b^2
Onde "a" e "b" são coeficientes ou variáveis que podem ser números reais ou expressões algébricas.
Para fatorar um trinômio quadrado perfeito, podemos usar a fórmula do binômio ao quadrado, que é:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Portanto, se temos um trinômio que segue o padrão de um quadrado perfeito, podemos simplesmente escrevê-lo como o quadrado de um binômio.
Exemplo:
Vamos fatorar o trinômio quadrado perfeito x^2 + 6x + 9.
Neste caso, podemos observar que os termos "x^2" e "9" são quadrados perfeitos: "x^2" é o quadrado de "x", e "9" é o quadrado de "3". Além disso, o termo do meio, "6x", é igual a "2 * x * 3", que corresponde ao dobro do produto dos dois termos iniciais.
Agora, usando a fórmula do binômio ao quadrado, escrevemos o trinômio como o quadrado de um binômio:
(x + 3)^2
Portanto, o trinômio x^2 + 6x + 9 é fatorado como (x + 3)^2, que é um trinômio quadrado perfeito.
Soma e diferença de dois cubos
A soma e a diferença de dois cubos são fatorações especiais de expressões polinomiais que seguem padrões específicos. São úteis na álgebra para simplificar e fatorar certos tipos de polinômios. As fórmulas para fatorar a soma e a diferença de dois cubos são as seguintes:
Soma de dois cubos:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Diferença de dois cubos:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Vamos analisar cada um deles em detalhes:
Soma de dois cubos:
A expressão "a^3 + b^3" pode ser fatorada usando a fórmula acima. A fatoração resulta em "(a + b)(a^2 - ab + b^2)". É importante notar que a primeira parte "(a + b)" é o binômio composto pela soma dos dois cubos "a" e "b", e a segunda parte "(a^2 - ab + b^2)" é o trinômio quadrado perfeito formado pelo primeiro termo ao quadrado menos o produto dos dois termos mais o segundo termo ao quadrado.
Diferença de dois cubos:
A expressão "a^3 - b^3" pode ser fatorada usando a fórmula acima. A fatoração resulta em "(a - b)(a^2 + ab + b^2)". Neste caso, a primeira parte "(a - b)" é o binômio composto pela diferença dos dois cubos "a" e "b", e a segunda parte "(a^2 + ab + b^2)" é o trinômio quadrado perfeito formado pelo primeiro termo ao quadrado mais o produto dos dois termos mais o segundo termo ao quadrado.
Essas fatorações são muito úteis na álgebra, especialmente quando encontramos expressões que seguem os padrões da soma e da diferença de dois cubos, pois permitem simplificar e resolver problemas de forma mais eficiente.
Fração algébrica: valor numérico e simplificação
Uma fração algébrica é uma expressão racional que contém polinômios no numerador e no denominador. Esses polinômios podem conter coeficientes, variáveis e operações algébricas como adição, subtração, multiplicação e divisão.
Para determinar o valor numérico de uma fração algébrica, você precisa atribuir valores específicos às variáveis presentes nos polinômios e, em seguida, realizar as operações algébricas para simplificar a fração. Vamos considerar um exemplo:
Exemplo:
Dada a fração algébrica (3x^2 + 2x - 8) / (x - 2), vamos calcular o valor numérico quando x = 3.
Passo 1: Substituir x pelo valor dado (x = 3):
(3x^2 + 2x - 8) / (x - 2) = (3(3)^2 + 2(3) - 8) / (3 - 2)
Passo 2: Realizar as operações indicadas:
= (3 * 9 + 2 * 3 - 8) / 1
= (27 + 6 - 8) / 1
= 25
Portanto, quando x = 3, o valor numérico da fração algébrica é 25.
Para simplificar uma fração algébrica, procuramos fatores comuns entre o numerador e o denominador e, em seguida, cancelamos esses fatores. Vamos usar outro exemplo para demonstrar a simplificação:
Exemplo:
Dada a fração algébrica (4x^2 - 12x) / (2x), vamos simplificar.
Passo 1: Procurar fatores comuns entre o numerador e o denominador.
O fator comum entre 4x^2 e -12x é 4x.
Passo 2: Simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador pelo fator comum encontrado:
(4x^2 - 12x) / (2x) = (4x(x - 3)) / (2x) = (2(x - 3))
Portanto, a fração algébrica (4x^2 - 12x) / (2x) foi simplificada para (2(x - 3)).
Operações com frações algébricas
As operações com frações algébricas seguem as mesmas regras que as operações com frações numéricas. Vamos abordar as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Considere as frações algébricas a seguir:
Adição e Subtração de Frações Algébricas:
Para adicionar ou subtrair frações algébricas, primeiro, precisamos encontrar um denominador comum para as frações. Em seguida, realizamos as operações nos numeradores.
Exemplo:
Vamos adicionar as frações algébricas (3x + 1)/(x^2) e (2x - 5)/(x).
Passo 1: Encontrar um denominador comum. Neste caso, o denominador comum é x^2.
Passo 2: Escrever as frações com o denominador comum:
(3x + 1)/(x^2) + (2x - 5)/(x) = (3x + 1)/(x^2) + (2x^2 - 5x)/(x^2)
Passo 3: Somar os numeradores:
= (3x + 1 + 2x^2 - 5x)/(x^2)
Passo 4: Simplificar a expressão, se possível:
= (2x^2 - 2x + 1)/(x^2)
Multiplicação de Frações Algébricas:
Para multiplicar frações algébricas, multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.
Exemplo:
Vamos multiplicar as frações algébricas (2x)/(x^2 + 3x) e (x^2 - 4)/(x).
(2x)/(x^2 + 3x) * (x^2 - 4)/(x) = (2x * (x^2 - 4)) / (x * (x^2 + 3x))
Realizando as operações de multiplicação:
= (2x^3 - 8x) / (x^3 + 3x^2)
Divisão de Frações Algébricas:
Para dividir frações algébricas, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Exemplo:
Vamos dividir as frações algébricas (x^2 + 2x)/(2x) e (x)/(x^2 - 4).
(x^2 + 2x)/(2x) ÷ (x)/(x^2 - 4) = (x^2 + 2x)/(2x) * (x^2 - 4)/(x)
Realizando as operações de multiplicação:
= ((x^2 + 2x) * (x^2 - 4)) / (2x * x)
= (x^4 + 2x^3 - 4x^2) / (2x^2)
É importante simplificar as frações resultantes, se possível, utilizando fatoração ou cancelamento de termos comuns. Lembre-se de que a simplificação pode nem sempre ser possível, dependendo da natureza das expressões envolvidas.
HORA DE EXERCÍCIO!!
1. Qual das seguintes expressões é um trinômio quadrado perfeito?
a) 2x^2 + 6x + 9
b) x^2 + 3x - 2
c) 4x^2 - 12x + 9
d) 3x^2 + 7x - 5
2. Fatorar completamente a expressão 4x^3 - 8x^2:
a) 4x^2(x - 2)
b) 4x^2(x + 2)
c) 4x^2(x^2 - 2)
d) 4x^2(x^2 + 2)
3. Qual é o valor numérico da fração algébrica (2x^2 - 6x)/(x) quando x = 3?
a) 0
b) 6
c) 2
d) 4
4. Fatorar a expressão 27x^3 - 125y^3:
a) (3x - 5y)(9x^2 + 15xy + 25y^2)
b) (3x + 5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)
c) (3x - 5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)
d) (3x + 5y)(9x^2 + 15xy + 25y^2)
5. Qual das seguintes opções é igual a (x + 1)^2 ?
a) x^2 + 2x + 1
b) x^2 + x + 1
c) x^2 + 1
d) x^2 + x
6. Fatorar a expressão 8x^3 - 27y^3:
a) (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)
b) (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)
c) (2x - 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)
d) (2x + 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)
7. Qual das seguintes opções é igual a (x^2 + 4)/(x^2 - 4) ?
a) (x + 2)/(x - 2)
b) (x - 2)/(x + 2)
c) (x + 2)/(x + 2)
d) (x - 2)/(x - 2)
8. Determine o valor numérico de (2x^3 + 3x^2 - 6x)/(x^2 - 2x) quando x = 4.
a) 20
b) 19
c) 10
d) 12
9. Fatorar completamente a expressão x^3 + 8:
a) (x + 2)^3
b) (x - 2)^3
c) (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
d) (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
10. Qual das seguintes expressões é um trinômio quadrado perfeito?
a) 9x^2 - 6x + 1
b) 4x^2 - 12x + 9
c) x^2 + 6x + 9
d) x^2 - 9x + 18
Respostas:
1. c
2. a
3. a
4. a
5. a
6. a
7. a
8. b
9. c
10. c
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