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Expressões Algébricas
São expressões matemáticas que envolvem números, letras (variáveis) e operações matemáticas. As letras representam valores desconhecidos ou que podem variar.
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica
É o resultado obtido ao substituir as variáveis por valores numéricos e realizar as operações indicadas.
Exemplo:
Na expressão 3x + 2y, se x = 4 e y = 5, o valor numérico será:
3 * 4 + 2 * 5 = 12 + 10 = 22
Monômios
São expressões algébricas com um único termo, formadas por um número (coeficiente) multiplicado por uma ou mais variáveis elevadas a expoentes inteiros não negativos.
Exemplo:
5x², -3y, 2ab³
Operações com Monômios
Adição e Subtração: Só é possível somar ou subtrair monômios semelhantes (mesma parte literal).
Multiplicação: Multiplicamos os coeficientes e as partes literais separadamente.
Divisão: Dividimos os coeficientes e as partes literais separadamente.
Polinômios
São expressões algébricas formadas pela soma ou subtração de monômios.
Exemplo:
x² + 3x - 5
Operações com Polinômios
Adição e Subtração: Realizadas termo a termo, respeitando os sinais e agrupando os termos semelhantes.
Multiplicação: Cada termo de um polinômio é multiplicado por cada termo do outro polinômio, e os resultados são somados.
Divisão de Polinômio por Monômio
Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
Fatoração de Polinômios
É o processo de transformar um polinômio em um produto de fatores mais simples.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de Polinômios
É o polinômio de menor grau que é múltiplo de todos os polinômios dados.
Frações Algébricas
São frações em que o numerador e o denominador são expressões algébricas.
Aprofunde com exemplos
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica
Exemplo 1: Calcule o valor numérico da expressão 2a + 3b se a = 3 e b = 2.
Resolução:
2a + 3b = 2 * 3 + 3 * 2 = 6 + 6 = 12
Resposta: 12.
Problematização: Calcule o valor numérico da expressão 4x - y + z se x = 2, y = 1 e z = 5.
Resolução:
4x - y + z = 4 * 2 - 1 + 5 = 8 - 1 + 5 = 12
Resposta: 12.
Monômios
Exemplo 2: Some os monômios 3x² e 5x².
Resolução:
3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x²
Resposta: 8x².
Problematização: Subtraia os monômios 7a³ e 2a³.
Resolução:
7a³ - 2a³ = (7 - 2)a³ = 5a³
Resposta: 5a³.
Exemplo 3: Multiplique os monômios 4x e 3x².
Resolução:
4x * 3x² = (4 * 3) * (x * x²) = 12x³
Resposta: 12x³.
Problematização: Divida os monômios 8y³ por 2y.
Resolução:
8y³ / 2y = (8 / 2) * (y³ / y) = 4y²
Resposta: 4y².
Polinômios
Exemplo 4: Some os polinômios 2x² + 3x + 1 e x² - 2x + 4.
Resolução:
(2x² + 3x + 1) + (x² - 2x + 4) = (2x² + x²) + (3x - 2x) + (1 + 4) = 3x² + x + 5
Resposta: 3x² + x + 5.
Problematização: Subtraia os polinômios 5x³ - x² + 2x e 3x³ + 2x² - 4x.
Resolução:
(5x³ - x² + 2x) - (3x³ + 2x² - 4x) = (5x³ - 3x³) + (-x² - 2x²) + (2x + 4x) = 2x³ - 3x² + 6x
Resposta: 2x³ - 3x² + 6x.
Exemplo 5: Multiplique os polinômios x + 2 e x - 3.
Resolução:
(x + 2)(x - 3) = x(x - 3) + 2(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6
Resposta: x² - x - 6.
Problematização: Multiplique os polinômios 2a + 3 e a - 1.
Resolução:
(2a + 3)(a - 1) = 2a(a - 1) + 3(a - 1) = 2a² - 2a + 3a - 3 = 2a² + a - 3
Resposta: 2a² + a - 3.
Divisão de Polinômio por Monômio
Exemplo 6: Divida o polinômio 6x³ + 9x² - 3x pelo monômio 3x.
Resolução:
(6x³ + 9x² - 3x) / 3x = 6x³ / 3x + 9x² / 3x - 3x / 3x = 2x² + 3x - 1
Resposta: 2x² + 3x - 1.
Problematização: Divida o polinômio 8y³ - 4y² + 2y pelo monômio 2y.
Resolução:
(8y³ - 4y² + 2y) / 2y = 8y³ / 2y - 4y² / 2y + 2y / 2y = 4y² - 2y + 1
Resposta: 4y² - 2y + 1.
Fatoração de Polinômios
Exemplo 7:** Fatore o polinômio x² - 9.
Resolução:
x² - 9 é uma diferença de quadrados:
x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
Resposta: (x + 3)(x - 3).
Problematização: Fatore o polinômio 4a² - 25.
Resolução:
4a² - 25 é uma diferença de quadrados:
4a² - 25 = (2a + 5)(2a - 5)
Resposta: (2a + 5)(2a - 5).
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de Polinômios
Exemplo 8: Encontre o MMC de x² - 4 e x² - x - 6.
Resolução:
Fatorando os polinômios:
x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
O MMC é o produto de todos os fatores distintos na maior potência que aparecem em qualquer fatoração:
MMC = (x + 2)(x - 2)(x - 3)
Resposta: (x + 2)(x - 2)(x - 3).
Frações Algébricas
Exemplo 9: Simplifique a fração algébrica (2x² - 8) / (4x).
Resolução:
(2x² - 8) / (4x) = 2(x² - 4) / 4x = 2(x + 2)(x - 2) / 4x = (x + 2)(x - 2) / 2x
Resposta: (x + 2)(x - 2) / 2x.
Problematização: Simplifique a fração algébrica (3a² - 12) / (6a).
Resolução:
(3a² - 12) / (6a) = 3(a² - 4) / 6a = 3(a + 2)(a - 2) / 6a = (a + 2)(a - 2) / 2a
Resposta: (a + 2)(a - 2) / 2a.
PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Calcule o valor numérico da expressão 2x + 3y se x = 5 e y = 4.
a) 14
b) 22
c) 23
d) 26
2. Qual é o resultado da soma dos monômios 4a² e 7a²?
a) 11a²
b) 3a²
c) 8a²
d) 13a²
3. Subtraia os monômios 9b³ e 3b³.
a) 6b³
b) 12b³
c) 3b³
d) 7b³
4. Multiplique os monômios 6m e 4m.
a) 24m³
b) 10m³
c) 24m²
d) 24m⁴
5. Some os polinômios 2x² + 5x - 3 e -x² + 4x + 1.
(Resposta dissertativa)
6. Subtraia o polinômio 3a² - 4a + 7 do polinômio 5a² + 2a - 1.
(Resposta dissertativa)
7. Multiplique os polinômios (x + 2) e (x - 4).
a) x² - 2x - 8
b) x² - 2x + 8
c) x² - 4x - 8
d) x² - 2x - 16
8. Divida o polinômio 10x³ - 5x² + 15x pelo monômio 5x.
(Resposta dissertativa)
9. Fatore o polinômio a² - 16.
(Resposta dissertativa)
10. Simplifique a fração algébrica (4x² - 16) / (8x).
a) (x + 2) / 2
b) (x - 2) / 2
c) (x + 2)(x - 2) / 4x
d) 2(x + 2)(x - 2) / 4x
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