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Situações que envolvem expressões algébricas
As expressões algébricas são fundamentais na matemática e são frequentemente utilizadas para representar quantidades desconhecidas ou variáveis. Aqui estão algumas situações que envolvem expressões algébricas:
Problemas de aritmética: Situações que envolvem adição, subtração, multiplicação e divisão de quantidades desconhecidas. Por exemplo, "Seja x o número desconhecido. Se eu adicionar 5 a x, o resultado é 12. Qual é o valor de x?"
Geometria: Expressões algébricas podem ser usadas para calcular áreas e perímetros de figuras geométricas. Por exemplo, a área de um retângulo pode ser representada por A = l * w, onde l é o comprimento e w é a largura.
Física: Equações de movimento, como a equação de velocidade, podem ser representadas por expressões algébricas. Por exemplo, a velocidade média de um objeto pode ser calculada usando a fórmula v = Δd / Δt, onde v é a velocidade, Δd é a mudança na distância e Δt é a mudança no tempo.
Economia: Expressões algébricas são usadas em economia para modelar relações entre variáveis, como oferta e demanda. Por exemplo, a demanda por um produto pode ser expressa como D = a - bP, onde D é a demanda, a é um parâmetro constante e b é o coeficiente da variável P (preço).
Engenharia: Em problemas de engenharia, expressões algébricas são usadas para representar relações entre várias grandezas físicas. Por exemplo, na Lei de Ohm, a resistência elétrica (R) pode ser calculada usando a equação R = V / I, onde V é a tensão e I é a corrente.
Problemas financeiros: Em situações financeiras, as expressões algébricas são usadas para calcular juros, investimentos, empréstimos, entre outros. Por exemplo, o montante final de um investimento pode ser calculado com a fórmula A = P * (1 + r/n)^(nt), onde A é o montante final, P é o principal (valor inicial), r é a taxa de juros, n é o número de vezes que o juro é aplicado por ano e t é o tempo em anos.
Valor numérico de uma expressão algébrica
O valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado obtido quando todas as variáveis da expressão são substituídas por seus valores correspondentes e a expressão é simplificada.
Para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica, siga estes passos:
Identifique as variáveis na expressão: As variáveis são letras que representam quantidades desconhecidas ou variáveis.
Atribua valores às variáveis: Se você tiver valores específicos para as variáveis, substitua-as por esses valores.
Simplifique a expressão: Use as regras de operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, etc.) para simplificar a expressão o máximo possível.
Calcule o valor: Com as variáveis substituídas pelos valores atribuídos, calcule o resultado final da expressão.
Vamos ilustrar com um exemplo:
Considere a expressão: 2x + 3y - 5, e vamos atribuir valores às variáveis x e y.
Se x = 4 e y = 2, podemos calcular o valor numérico:
Substituindo os valores: 2(4) + 3(2) - 5
Simplificando: 8 + 6 - 5
Agora, realize as operações: 14
Portanto, o valor numérico da expressão 2x + 3y - 5, quando x = 4 e y = 2, é igual a 14.
Monômios
Os monômios são uma categoria específica de expressões algébricas que consistem em apenas um termo. Um termo é uma combinação de constantes, variáveis e coeficientes multiplicados juntos. Em um monômio, não há adição ou subtração de termos.
A forma geral de um monômio é:
c . x^n
Onde:
- "c" é o coeficiente, que é um número real multiplicado pela variável.
- "x" é a variável, representando a incógnita ou quantidade desconhecida.
- "n" é o expoente, que é um número inteiro não negativo representando a potência da variável.
Alguns exemplos de monômios são:
3x - Aqui, o coeficiente é 3, a variável é "x" e o expoente é 1 (o expoente implícito é 1 quando não está explicitamente escrito).
-2xy² - Neste caso, o coeficiente é -2, a variável é "x" multiplicada por "y" elevado ao expoente 2.
5 - Este é um monômio constante, onde o coeficiente é 5 e não há variável (o expoente implícito da variável é 0).
Os monômios são importantes em álgebra e são usados em muitas áreas da matemática, especialmente em polinômios, que são a soma ou subtração de vários monômios. Além disso, os monômios são a base para entender a multiplicação de polinômios e para a aplicação de regras de expoentes.
Operações com monômios: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação
Operações com monômios envolvem a manipulação de termos algébricos que contêm apenas uma variável. Os monômios são expressões matemáticas compostas por um único termo. Cada termo pode conter um coeficiente numérico e uma ou mais variáveis elevadas a uma potência não negativa. Vamos ver como realizar as operações básicas com monômios:
Considere dois monômios:
Monômio 1: a * x^m
Monômio 2: b * x^n
onde "a" e "b" são coeficientes numéricos, "x" é a variável e "m" e "n" são expoentes não negativos.
Adição e Subtração:
Para adicionar ou subtrair monômios, é necessário que tenham a mesma parte literal (a parte que contém a variável e sua potência). Se os monômios têm a mesma parte literal, basta somar ou subtrair os coeficientes numéricos e manter a parte literal inalterada.
Exemplo de adição:
3x^2 + 2x^2 = 5x^2
Exemplo de subtração:
5x^3 - 2x^3 = 3x^3
Multiplicação:
Para multiplicar monômios, basta multiplicar os coeficientes numéricos e somar os expoentes da mesma variável.
Exemplo:
(3x^2) * (2x^3) = 6x^(2+3) = 6x^5
Divisão:
Para dividir monômios, dividimos os coeficientes numéricos e subtraímos os expoentes da mesma variável.
Exemplo:
(8x^4) / (2x^2) = 8/2 * x^(4-2) = 4x^2
Potenciação:
Para elevar um monômio a uma potência, elevamos o coeficiente e cada um dos expoentes a essa potência.
Exemplo:
(2x^3)^2 = (2^2) * (x^3)^2 = 4x^(3*2) = 4x^6
Todas essas operações, as regras de potenciação e aritmética são aplicadas normalmente. Além disso, é fundamental simplificar o resultado, se possível, removendo quaisquer termos semelhantes.
Polinômios
Polinômios são expressões algébricas que envolvem a soma ou diferença de monômios. Um monômio é um termo composto por um coeficiente numérico multiplicado por uma ou mais variáveis elevadas a expoentes não negativos. Quando esses monômios são somados ou subtraídos, formam um polinômio.
Um polinômio pode ter várias variáveis, mas geralmente em problemas comuns, costuma-se trabalhar com polinômios que envolvem apenas uma variável. A forma geral de um polinômio é dada por:
P(x) = a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_2 * x^2 + a_1 * x + a_0
onde:
- P(x) é o polinômio;
- a_n, a_(n-1), ..., a_2, a_1 e a_0 são os coeficientes numéricos do polinômio;
- x é a variável;
- n é o grau do polinômio, que é o expoente mais alto da variável x com um coeficiente não nulo.
Exemplos de polinômios:
1. P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 (grau 3)
2. Q(x) = 2x^4 + 3x^2 - 1 (grau 4)
3. R(x) = x^2 + 4x + 2 (grau 2)
Operações com polinômios:
Adição e Subtração:
Para somar ou subtrair polinômios, basta combinar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm a mesma potência da variável.
Exemplo de adição:
(3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (2x^4 + 3x^2 - 1) = 2x^4 + 3x^3 + x^2 + 5x - 8
Multiplicação:
Para multiplicar polinômios, aplica-se a propriedade distributiva várias vezes até que todos os termos sejam combinados.
Exemplo:
(3x^2 + 2) * (2x - 1) = 6x^3 - 3x^2 + 4x - 2
Divisão:
A divisão de polinômios é um pouco mais complexa e envolve o uso de métodos como a divisão sintética ou longa.
Potenciação:
Para elevar um polinômio a uma potência, aplica-se a regra da potência para cada termo do polinômio.
Exemplo:
(2x^2 + 3)^2 = 4x^4 + 12x^2 + 9
É importante simplificar os polinômios após realizar as operações, especialmente para identificar raízes e encontrar soluções para equações polinomiais.
Operações com polinômios: adição, subtração, multiplicação e divisão
Vamos revisar as operações com polinômios: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Considere os seguintes polinômios:
1. Polinômio P(x): 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7
2. Polinômio Q(x): 2x^4 + 3x^2 - 1
Adição de polinômios:
Para somar dois polinômios, basta combinar os termos semelhantes, ou seja, os termos que têm a mesma potência da variável.
P(x) + Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (2x^4 + 3x^2 - 1) = 2x^4 + 3x^3 + x^2 + 5x - 8
Subtração de polinômios:
Para subtrair um polinômio de outro, realiza-se a operação de adição do oposto do polinômio que está sendo subtraído.
P(x) - Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) - (2x^4 + 3x^2 - 1) = -2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 5x - 6
Multiplicação de polinômios:
Para multiplicar dois polinômios, utiliza-se a propriedade distributiva e combina-se os termos semelhantes.
P(x) * Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) * (2x^4 + 3x^2 - 1) = 6x^7 + 9x^5 - 2x^6 - 3x^4 + 10x^3 - 5x^2 - 2x^4 - 3x^2 + 5x - 7
Simplificando, temos:
P(x) * Q(x) = 6x^7 - 2x^6 + 9x^5 + 5x^3 - 8x^2 + 5x - 7
Divisão de polinômios:
A divisão de polinômios é mais complexa e pode ser feita usando a divisão sintética ou a divisão longa. No caso de polinômios simples, a divisão sintética é comumente utilizada.
Vamos supor que queremos dividir P(x) por Q(x). A divisão sintética seria um processo como este:
```
3x^2 - 2x + 5
__________________
2x^4 + 3x^2 - 1 | 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7
- (3x^3 + 4x^2 - 2x)
__________________
- 6x^2 + 5x
+ (6x^2 + 9x - 3)
__________________
10x - 4
+ (10x + 15)
__________________
- 19
```
Portanto, o resultado da divisão de P(x) por Q(x) é:
P(x) / Q(x) = 3x^2 - 2x + 5 + (10x - 4) / (2x^4 + 3x^2 - 1)
VAMOS PRATICAR !!
1. Qual é o valor numérico da expressão 2x + 3y - 5 quando x = 4 e y = 2?
a) 10
b) 9
c) 14
d) 16
2. Qual é a área de um retângulo com comprimento (l) igual a 5 e largura (w) igual a 3? Sabendo que a área do retângulo é obtida ao multiplicar l x w
a) 8
b) 15
c) 12
d) 20
3. Qual é a velocidade média de um objeto que percorreu uma distância (Δd) de 500 metros em um tempo (Δt) de 25 segundos? Considere que a velocidade média é obtida a partir da divisão de Δd por Δt.
a) 20 m/s
b) 25 m/s
c) 10 m/s
d) 15 m/s
4. A demanda por um produto pode ser representada por D = 100 - 2P, onde P é o preço do produto. Se o preço for de R$30, qual será a demanda?
a) 40 unidades
b) 60 unidades
c) 70 unidades
d) 80 unidades
5. Na Lei de Ohm, a resistência elétrica (R) é dada por R = V / I. Se a tensão (V) é de 12 volts e a corrente (I) é de 2 amperes, qual é o valor da resistência?
a) 3 ohms
b) 6 ohms
c) 8 ohms
d) 10 ohms
6. Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a:
a) 4
b) 5
c) 8
d) 10
7. Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é:
A) 5
B) – 5
C) 0
D) – 10
8. Qual é o valor numérico da expressão 4a^2 - 3b + 7 quando a = 2 e b = 5?
a) 6
b) 11
c) 8
d) 22
9. Considerando os polinômios a seguir:
X = 2x³ + 4x² + 2y² + 4
Y = – 7x² + y² + 2
Z = x³ – 2x² + y² + 3
O valor da soma X + Y – 2Z é igual a:
A) y² + 2x² + 2
B) 2x³
C) 2x³ + x² + y² – 3
D) x² + y²
10. Qual é o valor numérico da expressão 2x^2 - 3y^2 + 4xy quando x = 3 e y = 2?
a) 10
b) 18
c) 14
d) 22
GANARITO
1.b) 9
2. b) 15
3. a) 20 m/s
4. a) 40 unidades
5. b) 6 ohms
6. b) 5
7. D) – 10
8. c) 8
9. D) x² + y²
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