Equações II

Equações do 2º grau incompleta

Uma equação do 2º grau incompleta é aquela que não possui todos os termos presentes. A forma geral de uma equação do 2º grau incompleta é:

ax^2 + bx + c = 0

Dependendo dos coeficientes a, b e c, a equação pode ter diferentes características e soluções. Vou apresentar os casos mais comuns de equações do 2º grau incompletas:

Equação do 2º grau com o termo linear (bx) ausente:

   a. Exemplo: x^2 + 4 = 0

   b. Solução: Neste caso, a equação possui apenas o termo quadrático, e a única solução possível é encontrar os valores de x que zeram esse termo.

   c. Solução do exemplo: x = ±2i (raízes imaginárias, onde "i" é a unidade imaginária, com valor de √(-1)).

Equação do 2º grau com o termo constante (c) ausente:

   a. Exemplo: 3x^2 - 6x = 0

   b. Solução: Neste caso, a equação possui o termo quadrático (ax^2) e o termo linear (bx), e podemos fatorar a equação para encontrar as soluções.

   c. Solução do exemplo: 3x(x - 2) = 0

                         x₁ = 0

                         x₂ = 2

Equação do 2º grau com o termo quadrático (ax^2) ausente:

   a. Exemplo: 2x - 5 = 0

   b. Solução: Neste caso, a equação possui apenas o termo linear (bx) e o termo constante (c), e podemos resolver a equação diretamente para encontrar a solução.

   c. Solução do exemplo: 2x = 5

                         x = 5/2

É importante notar que em todos esses casos, a equação do 2º grau pode ter 0, 1 ou 2 soluções reais ou complexas, dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c. Caso as soluções sejam complexas, elas estarão na forma a + bi, onde "a" é a parte real e "bi" é a parte imaginária da solução. 

Tudo sobre equações do 2º grau

As equações do 2º grau, também conhecidas como equações quadráticas, são expressões matemáticas com uma incógnita (normalmente representada por "x") elevada ao quadrado (com um expoente de 2) e podem ser escritas na seguinte forma geral:

ax^2 + bx + c = 0

Onde:

- "a", "b" e "c" são coeficientes numéricos, com "a" diferente de zero.

- "x" é a incógnita que buscamos determinar, representando a variável desconhecida.

As equações do 2º grau têm grande importância na matemática e em diversas áreas da ciência, sendo muito comuns em problemas de física, engenharia, economia, entre outros. O processo para resolver uma equação do 2º grau envolve encontrar os valores de "x" que satisfazem a igualdade, ou seja, aqueles que tornam a equação verdadeira.

Para resolver uma equação do 2º grau, existem várias estratégias, sendo as mais comuns:

Fatoração: Se a equação puder ser fatorada, podemos igualar cada fator a zero para encontrar as soluções.

Fórmula quadrática: Utilizando a fórmula quadrática, podemos encontrar as soluções de qualquer equação do 2º grau, mesmo que não seja possível fatorá-la. A fórmula é dada por:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   - Se o discriminante (Δ = b^2 - 4ac) for positivo, a equação tem duas raízes reais distintas.

   - Se o discriminante for zero (Δ = 0), a equação tem duas raízes reais iguais.

   - Se o discriminante for negativo (Δ < 0), a equação tem duas raízes complexas conjugadas.

Completando o quadrado: Outra técnica é completar o quadrado, que envolve transformar a equação em uma forma quadrática perfeita e, em seguida, resolver para "x".

As equações do 2º grau podem ter diferentes tipos de soluções, a depender do valor do discriminante Δ:

1. Δ > 0: Duas raízes reais e distintas.

2. Δ = 0: Duas raízes reais iguais (raiz dupla).

3. Δ < 0: Duas raízes complexas conjugadas (não há raízes reais).

Se você tiver uma equação do 2º grau específica, posso ajudá-lo a resolvê-la passo a passo. Basta fornecer os coeficientes "a", "b" e "c".

Passo a Passo para resolução 

Vou explicar como resolver uma equação do 2º grau passo a passo, utilizando a fórmula quadrática. A fórmula é dada por:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Para resolver a equação, siga os seguintes passos:

Passo 1: Escreva a equação na forma geral:

ax^2 + bx + c = 0

Passo 2: Identifique os coeficientes "a", "b" e "c" na equação.

Passo 3: Calcule o discriminante Δ = b^2 - 4ac.

Passo 4: Verifique o valor do discriminante (Δ) para determinar o tipo de solução da equação:

   a. Se Δ > 0: A equação tem duas raízes reais e distintas.

   b. Se Δ = 0: A equação tem duas raízes reais iguais (raiz dupla).

   c. Se Δ < 0: A equação tem duas raízes complexas conjugadas (não há raízes reais).

Passo 5: Se Δ ≥ 0, utilize a fórmula quadrática para encontrar as soluções para "x":

   x = (-b + √Δ) / 2a   e   x = (-b - √Δ) / 2a

Lembrando que "√Δ" representa a raiz quadrada do valor do discriminante.

Aqui está um exemplo de resolução de uma equação do 2º grau:

Exemplo: Vamos resolver a equação 2x^2 - 5x + 2 = 0.

Passo 1: A equação já está na forma geral ax^2 + bx + c = 0.

Passo 2: Identificamos os coeficientes "a", "b" e "c":

a = 2, b = -5, c = 2

Passo 3: Calculamos o discriminante Δ:

Δ = b^2 - 4ac

Δ = (-5)^2 - 4 * 2 * 2

Δ = 25 - 16

Δ = 9

Passo 4: O valor de Δ é Δ > 0, o que significa que a equação possui duas raízes reais e distintas.

Passo 5: Usamos a fórmula quadrática para encontrar as soluções para "x":

x = (-(-5) + √9) / 2*2

x = (5 + 3) / 4

x = 8 / 4

x = 2

e

x = (-(-5) - √9) / 2*2

x = (5 - 3) / 4

x = 2 / 4

x = 1/2

Portanto, a equação tem duas soluções reais distintas: x = 2 e x = 1/2.

PRATIQUE!!

1. Qual é a forma geral de uma equação do 2º grau (ou equação quadrática)? 

a) ax + b = 0

b) ax^2 + bx + c = 0

c) bx + c = 0

d) ax^2 + bx = 0

2. Qual é a fórmula quadrática para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau?

a) x = (-b + √(b^2 + 4ac)) / 2a

b) x = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a

c) x = (-b - √(b^2 + 4ac)) / 2a

d) x = (-b +/- √(b^2 - 4ac)) / 2a

3. Se o discriminante Δ de uma equação do 2º grau é igual a zero, quantas raízes reais a equação possui?

a) Duas raízes reais distintas

b) Duas raízes reais iguais

c) Duas raízes complexas conjugadas

d) Nenhuma raiz real

4. Resolva a equação do 2º grau: 3x^2 - 6x + 3 = 0. Qual é a(s) solução(ões)?

a) x = 1

b) x = 2

c) x = 1/2

d) x = 3

5. O valor do discriminante (Δ) é igual a -16 em uma equação do 2º grau. Quantas raízes reais a equação possui?

a) Duas raízes reais distintas

b) Duas raízes reais iguais

c) Duas raízes complexas conjugadas

d) Nenhuma raiz real

6. Qual dos seguintes não é um passo para resolver uma equação do 2º grau?

a) Identificar os coeficientes "a", "b" e "c" na equação.

b) Calcular o discriminante Δ.

c) Aplicar a fórmula quadrática.

d) Escrever a equação apenas com os coeficientes "a" e "b".

7. A equação do 2º grau 5x^2 - 8x + 3 = 0 tem quantas soluções reais?

a) Uma solução real

b) Duas soluções reais distintas

c) Duas soluções reais iguais

d) Duas soluções complexas conjugadas

8. Resolva a equação do 2º grau: x^2 - 9 = 0. Qual é a(s) solução(ões)?

a) x = 3

b) x = -3

c) x = ±3

d) x = 0

9. Qual dos seguintes não é um tipo de solução para uma equação do 2º grau com discriminante Δ > 0?

a) Duas raízes reais distintas

b) Duas raízes reais iguais

c) Duas raízes complexas conjugadas

d) Nenhuma das opções acima

10. A equação do 2º grau 2x^2 + 4x + 6 = 0 possui quantas soluções reais?

a) Uma solução real

b) Duas soluções reais distintas

c) Duas soluções reais iguais

d) Nenhuma solução real

Respostas:

1. b

2. d

3. b

4. c

5. c

6. d

7. b

8. c

9. b

10. d