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Conceito e construção de bissetriz de um ângulo e de mediatriz de um segmento com régua e compasso
A construção da bissetriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento utilizando régua e compasso são dois problemas clássicos da geometria que podem ser resolvidos com o auxílio dessas ferramentas.
Construção da Bissetriz de um Ângulo:
Dado um ângulo qualquer, a bissetriz é a reta que divide esse ângulo em duas partes iguais. Para construí-la, siga os passos abaixo:
Passo 1: Desenhe os lados do ângulo dados pela medida, começando em um ponto comum (vértice do ângulo).
Passo 2: Com o compasso, coloque a ponta em um dos vértices do ângulo e abra-o o suficiente para desenhar um arco que corte os dois lados do ângulo em pontos A e B.
Passo 3: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta em torno do outro vértice do ângulo e desenhe outro arco que corte o primeiro arco desenhado em pontos C e D.
Passo 4: Agora, com o compasso ajustado para uma distância maior do que a distância entre os pontos C e D, mas menor do que a distância entre A e B, coloque a ponta em C e desenhe um arco.
Passo 5: Faça o mesmo a partir do ponto D, desenhando um arco que corte o arco anterior em algum ponto, chamado de E.
Passo 6: Usando a régua, desenhe uma reta que ligue o vértice do ângulo ao ponto E. Essa reta é a bissetriz do ângulo.
Construção da Mediatriz de um Segmento:
Dado um segmento de reta, a mediatriz é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. Para construí-la, siga os passos abaixo:
Passo 1: Desenhe o segmento de reta AB com a medida dada.
Passo 2: Com o compasso, coloque a ponta em A e ajuste-o para uma distância maior do que a metade do segmento AB. Desenhe um arco.
Passo 3: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta em B e desenhe outro arco que cruze o primeiro em algum ponto C.
Passo 4: Usando a régua, desenhe uma reta que ligue o ponto C ao ponto médio do segmento AB. Essa reta é a mediatriz do segmento AB.
Essas construções geométricas podem ser úteis em várias aplicações da matemática e da engenharia, bem como para resolver problemas específicos na área da geometria. Lembre-se de usar a régua para traçar retas e o compasso para desenhar arcos com precisão.
Construção de ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º com régua e compasso
Para construir ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º utilizando régua e compasso, siga os passos abaixo para cada um dos ângulos:
Construção de um ângulo de 30º:
Passo 1: Comece desenhando uma reta (segmento de reta) usando a régua. Essa reta será um dos lados do ângulo de 30º.
Passo 2: Com o compasso, coloque a ponta em um dos extremos da reta e ajuste a abertura para uma distância maior do que a metade do comprimento da reta.
Passo 3: Trace um arco que cruze a reta em algum ponto.
Passo 4: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta no ponto onde o arco cruzou a reta e desenhe outro arco acima da reta.
Passo 5: Usando a régua, desenhe uma reta que ligue o vértice do ângulo ao ponto onde os dois arcos se cruzam. Essa reta representa um ângulo de 30º.
Construção de um ângulo de 45º:
Passo 1: Desenhe uma reta usando a régua. Essa será um dos lados do ângulo de 45º.
Passo 2: Com o compasso, coloque a ponta em um dos extremos da reta e ajuste a abertura para um comprimento maior do que a metade do comprimento da reta.
Passo 3: Trace um arco que cruze a reta em algum ponto.
Passo 4: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta no ponto onde o arco cruzou a reta e desenhe outro arco acima da reta.
Passo 5: Usando a régua, desenhe uma reta que ligue o vértice do ângulo ao ponto onde os dois arcos se cruzam. Essa reta representa um ângulo de 45º.
Construção de um ângulo de 60º:
Passo 1: Desenhe uma reta usando a régua. Essa será um dos lados do ângulo de 60º.
Passo 2: Com o compasso, coloque a ponta em um dos extremos da reta e ajuste a abertura para uma distância maior do que o comprimento da reta.
Passo 3: Trace um arco que cruze a reta em algum ponto.
Passo 4: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta no ponto onde o arco cruzou a reta e desenhe outro arco acima da reta.
Passo 5: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta no ponto onde o segundo arco cruzou a reta e desenhe mais um arco.
Passo 6: Usando a régua, desenhe uma reta que ligue o vértice do ângulo ao ponto onde o terceiro arco se cruzou com a reta. Essa reta representa um ângulo de 60º.
Construção de um ângulo de 90º:
Passo 1: Desenhe uma reta horizontal usando a régua. Essa será um dos lados do ângulo de 90º.
Passo 2: Com o compasso, coloque a ponta em um dos extremos da reta horizontal e ajuste a abertura para uma distância maior do que a metade do comprimento da reta.
Passo 3: Trace um arco que cruze a reta horizontal em algum ponto acima dela.
Passo 4: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta no ponto onde o arco cruzou a reta horizontal e desenhe outro arco à direita da reta horizontal.
Passo 5: Usando a régua, desenhe uma reta vertical que ligue o vértice do ângulo ao ponto onde o segundo arco se cruzou com a reta horizontal. Essa reta representa um ângulo de 90º.
Agora você possui as construções dos ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º utilizando régua e compasso. Lembre-se de ser preciso com as medidas e alinhamentos para obter resultados mais precisos.
Polígonos regulares inscritos em uma circunferência
Polígonos regulares inscritos em uma circunferência são polígonos cujos vértices estão localizados na circunferência de forma que todos os lados tenham o mesmo comprimento (lados congruentes) e todos os ângulos internos possuam a mesma medida.
Para construir um polígono regular inscrito em uma circunferência, é necessário saber o número de lados (n) do polígono e o raio da circunferência (ou o diâmetro, que é o dobro do raio). Vamos tomar como exemplo a construção de um pentágono regular inscrito em uma circunferência.
Construção de um Pentágono Regular Inscrito em uma Circunferência:
Passo 1: Desenhe uma circunferência e marque o centro (ponto O) usando o compasso.
Passo 2: Determine o raio da circunferência desejado (ou o diâmetro) e ajuste o compasso para essa medida.
Passo 3: Com a ponta do compasso no ponto O (centro da circunferência), trace a circunferência com o raio desejado.
Passo 4: Escolha um ponto na circunferência como ponto inicial (ponto A).
Passo 5: Agora, com o compasso ajustado para a distância entre os pontos A e O, coloque a ponta do compasso em A e trace outro arco que cruze a circunferência em um novo ponto (ponto B).
Passo 6: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta em B e trace outro arco que cruze a circunferência em outro ponto (ponto C).
Passo 7: Continue esse processo até obter cinco pontos igualmente espaçados ao longo da circunferência. Marque esses pontos como A, B, C, D e E.
Passo 8: Usando a régua, conecte os pontos A, B, C, D e E em sequência para formar o pentágono regular inscrito na circunferência.
Repita o mesmo procedimento para construir polígonos regulares com um número diferente de lados (triângulos, quadrados, hexágonos, etc.). A única diferença será o número de pontos igualmente espaçados ao longo da circunferência, correspondente ao número de lados do polígono.
Elementos de um polígono regular inscrito em uma circunferência
Os elementos de um polígono regular inscrito em uma circunferência são os segmentos de reta, ângulos e pontos que constituem esse polígono e estão todos contidos na circunferência.
Para um polígono regular inscrito em uma circunferência, os principais elementos são:
Lados: São os segmentos de reta que conectam dois vértices consecutivos do polígono e estão contidos na circunferência.
Vértices: São os pontos de encontro dos lados do polígono e da circunferência.
Ângulos Internos: São os ângulos formados por dois lados consecutivos do polígono. Em um polígono regular, todos os ângulos internos possuem a mesma medida.
Ângulo Central: É o ângulo formado pelo raio da circunferência que parte do centro até dois vértices consecutivos do polígono. Em um polígono regular, todos os ângulos centrais têm a mesma medida.
Raio: É o segmento de reta que liga o centro da circunferência a um vértice do polígono.
Diâmetro: É o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência e tem ambos os extremos sobre a circunferência. O diâmetro é igual ao dobro do raio.
Centro: É o ponto central da circunferência, que também é o ponto de encontro dos ângulos centrais do polígono.
Ângulo ao Centro: É o ângulo formado por dois raios da circunferência que partem do centro e interceptam a circunferência em dois vértices consecutivos do polígono. Em um polígono regular, todos os ângulos ao centro têm a mesma medida.
Apótema: É o segmento de reta que liga o centro da circunferência ao ponto médio de um lado do polígono regular.
Medida do Ângulo Interno: Em um polígono regular com n lados, a medida do ângulo interno é dada por: (n-2) × 180° / n.
Medida do Ângulo Central: Em um polígono regular com n lados, a medida do ângulo central é dada por: 360° / n.
Medida do Ângulo ao Centro: Em um polígono regular com n lados, a medida do ângulo ao centro é igual à medida do ângulo central.
Esses elementos são fundamentais para entender a geometria e as propriedades de polígonos regulares inscritos em uma circunferência. Eles têm aplicações em diversas áreas, incluindo a matemática, arquitetura e engenharia.
Construção de polígonos regulares (triângulo equilátero, quadrado e octógono regular) inscritos em uma circunferência, com o auxílio de régua e compasso
Vou guiá-lo na construção dos polígonos regulares (triângulo equilátero, quadrado e octógono regular) inscritos em uma circunferência com o auxílio de régua e compasso. Lembrando que um polígono é regular quando todos os seus lados são iguais e todos os seus ângulos são congruentes.
Construção de um Triângulo Equilátero Inscrito:
Passo 1: Desenhe uma circunferência e marque o centro (ponto O) usando o compasso.
Passo 2: Com o compasso, ajuste-o para um raio desejado e trace a circunferência a partir do ponto O.
Passo 3: Escolha um ponto na circunferência como ponto inicial (ponto A).
Passo 4: Com o compasso, ajuste-o para a distância entre os pontos A e O.
Passo 5: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta do compasso em A e trace um arco na circunferência.
Passo 6: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em O e trace outro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto B).
Passo 7: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em B e trace o terceiro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto C).
Passo 8: Usando a régua, conecte os pontos A, B e C para formar um triângulo equilátero.
Construção de um Quadrado Inscrito:
Passo 1: Siga os Passos 1 a 6 da construção do triângulo equilátero para desenhar a circunferência e o ponto inicial A.
Passo 2: Com o compasso, ajuste-o para a distância entre os pontos A e O.
Passo 3: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta do compasso em A e trace um arco na circunferência.
Passo 4: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em O e trace outro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto B).
Passo 5: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em B e trace o terceiro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto C).
Passo 6: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em C e trace o quarto arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto D).
Passo 7: Usando a régua, conecte os pontos A, B, C e D para formar um quadrado.
Construção de um Octógono Regular Inscrito:
Passo 1: Siga os Passos 1 a 6 da construção do triângulo equilátero para desenhar a circunferência e o ponto inicial A.
Passo 2: Com o compasso, ajuste-o para a distância entre os pontos A e O.
Passo 3: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta do compasso em A e trace um arco na circunferência.
Passo 4: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em O e trace outro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto B).
Passo 5: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em B e trace o terceiro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto C).
Passo 6: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em C e trace o quarto arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto D).
Passo 7: Continue esse processo até obter oito pontos igualmente espaçados ao longo da circunferência.
Passo 8: Usando a régua, conecte os pontos A, B, C, D e assim por diante até formar um octógono regular.
Repita o mesmo procedimento para outros polígonos regulares inscritos em uma circunferência com um número diferente de lados. Lembre-se de ser preciso com as medidas e alinhamentos para obter resultados mais precisos.
Construção de polígonos regulares (pentágono regular, dodecágono regular e hexágono regular) inscritos em uma circunferência pelo ângulo central
Para construir polígonos regulares (pentágono regular, dodecágono regular e hexágono regular) inscritos em uma circunferência pelo ângulo central, siga os passos abaixo. Lembrando que o ângulo central é o ângulo formado por dois raios que partem do centro da circunferência e intersectam a circunferência em dois vértices consecutivos do polígono.
Construção de um Pentágono Regular Inscrito pela Ângulo Central:
Passo 1: Desenhe uma circunferência e marque o centro (ponto O) usando o compasso.
Passo 2: Com o compasso, ajuste-o para um raio desejado e trace a circunferência a partir do ponto O.
Passo 3: Escolha um ponto qualquer na circunferência como ponto inicial (ponto A).
Passo 4: Com o compasso, ajuste-o para a distância entre os pontos A e O.
Passo 5: Mantendo o mesmo ajuste do compasso, coloque a ponta do compasso em A e trace um arco na circunferência.
Passo 6: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em O e trace outro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto B).
Passo 7: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em B e trace o terceiro arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto C).
Passo 8: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em C e trace o quarto arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto D).
Passo 9: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em D e trace o quinto arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto E).
Passo 10: Usando a régua, conecte os pontos A, B, C, D e E para formar um pentágono regular.
Construção de um Dodecágono Regular Inscrito pelo Ângulo Central:
O dodecágono regular é um polígono com 12 lados.
Passo 1 a 6: Siga os Passos 1 a 6 da construção do pentágono regular.
Passo 7: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em E (último ponto do pentágono) e trace o sexto arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto F).
Passo 8: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em F e trace o sétimo arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto G).
Passo 9: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em G e trace o oitavo arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto H).
Passo 10: Continue esse processo até obter 12 pontos igualmente espaçados ao longo da circunferência.
Passo 11: Usando a régua, conecte os pontos A, B, C, D, E, F, G, H e assim por diante até formar um dodecágono regular.
Construção de um Hexágono Regular Inscrito pelo Ângulo Central:
O hexágono regular é um polígono com 6 lados.
Passo 1 a 6: Siga os Passos 1 a 6 da construção do pentágono regular.
Passo 7: Sem alterar o ajuste do compasso, coloque a ponta em E (último ponto do pentágono) e trace o sexto arco, cruzando o primeiro arco em algum ponto (ponto F).
Passo 8: Continue esse processo até obter 6 pontos igualmente espaçados ao longo da circunferência.
Passo 9: Usando a régua, conecte os pontos A, B, C, D, E e F para formar um hexágono regular.
Lembre-se de ser preciso com as medidas e alinhamentos para obter resultados mais precisos.
Isometrias
Isometrias são transformações geométricas que preservam as distâncias entre os pontos de um objeto. Em outras palavras, são transformações que mantêm a forma e o tamanho de uma figura, movendo-a no espaço sem distorção. As isometrias podem ser representadas por rotações, reflexões e translações.
Rotação: Uma rotação é uma isometria que gira uma figura em torno de um ponto fixo chamado centro de rotação. Todos os pontos da figura giram em torno desse centro por um mesmo ângulo. A figura resultante é congruente (mesma forma e tamanho) à figura original.
Reflexão: Uma reflexão é uma isometria que espelha uma figura em relação a uma reta chamada eixo de reflexão. Todos os pontos da figura são refletidos simetricamente em relação a essa reta, resultando em uma figura congruente à original.
Translação: Uma translação é uma isometria que move uma figura em uma direção específica sem alterar a sua forma ou tamanho. Todos os pontos da figura são deslocados na mesma distância e direção, resultando em uma figura congruente à original.
As isometrias são importantes na geometria, na arte, na engenharia e em muitas outras áreas, pois ajudam a descrever e compreender as transformações e simetrias presentes nas formas e objetos. Elas são amplamente utilizadas em diversas aplicações, como no design de objetos, em animações, em jogos, entre outros.
PRATICANDO!!!
1. Qual das seguintes opções define um polígono regular?
a) Um polígono com lados de diferentes comprimentos.
b) Um polígono com todos os ângulos internos iguais.
c) Um polígono com um ângulo interno de 90 graus.
d) Um polígono com vértices em diferentes posições.
2. Qual é a isometria que envolve uma figura sendo girada em torno de um ponto fixo?
a) Rotação
b) Reflexão
c) Translação
d) Ampliação
3. O que uma reflexão preserva em uma figura?
a) Forma e tamanho
b) Apenas a forma
c) Apenas o tamanho
d) Nenhuma das opções acima
4. Um polígono regular possui quantos lados iguais e ângulos internos congruentes?
a) 3
b) 4
c) todos
d) 6
5. O que é a bissetriz de um ângulo?
a) A reta que divide o ângulo em duas partes iguais.
b) A reta que reflete a figura em relação a um eixo.
c) A reta que gira a figura em torno de um ponto fixo.
d) A reta que move a figura em uma direção específica.
6. Uma circunferência é um conjunto de pontos equidistantes de:
a) Seu centro.
b) Sua borda.
c) Seu diâmetro.
d) Sua mediatriz.
7. O que é um dodecágono regular?
a) Um polígono com 10 lados.
b) Um polígono com 12 lados.
c) Um polígono com 8 lados.
d) Um polígono com 6 lados.
8. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre as isometrias?
a) Elas alteram o tamanho e a forma das figuras.
b) Elas preservam as distâncias entre os pontos das figuras.
c) Elas sempre envolvem uma rotação.
d) Elas não são importantes na geometria.
9. O que é a mediatriz de um segmento?
a) A reta que divide o segmento em duas partes iguais.
b) A reta que reflete a figura em relação a um eixo.
c) A reta que gira a figura em torno de um ponto fixo.
d) A reta que move a figura em uma direção específica.
10. Uma isometria que envolve uma figura sendo refletida em relação a uma reta é chamada de:
a) Rotação
b) Reflexão
c) Translação
d) Ampliação
Respostas: 1 - b, 2 - a, 3 - a, 4 - c, 5 - a, 6 - a, 7 - b, 8 - b, 9 - a, 10 - b.
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