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Potenciação de números racionais
A potenciação de números racionais segue as mesmas regras básicas da potenciação de números inteiros, mas com a consideração de que os números envolvidos podem ser expressos na forma de frações (racionais).
A potenciação é representada pelo símbolo "^" ou pelo uso de expoentes. Para elevar um número racional (fração) a uma potência, você deve aplicar a seguinte regra:
Para um número racional x/y elevado à potência n:
(x/y)^n = x^n / y^n
Nessa fórmula, "x" é o numerador da fração, "y" é o denominador da fração e "n" é o expoente ao qual o número racional é elevado.
Vamos ver alguns exemplos para entender melhor:
(2/3)²
(2/3)² = 2² / 3² = 4/9
(1/4)³
(1/4)³ = 1³ / 4³ = 1/64
(5/2)^0
Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
(5/2)^0 = 1
4. (3/5)^-2
Quando o expoente é negativo, invertemos a fração e aplicamos o módulo do expoente:
(3/5)^-2 = (5/3)^2 = 25/9
5. (4/7)^1
Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
(4/7)^1 = 4/7
Lembre-se sempre de simplificar as frações resultantes, se necessário, para obter as respostas na forma mais reduzida possível. Além disso, as regras comuns da potenciação, como propriedades de expoentes, também se aplicam aos números racionais.
Propriedades da potenciação
A potenciação possui algumas propriedades que facilitam a manipulação de expressões com expoentes. Essas propriedades são úteis para simplificar cálculos e resolver problemas matemáticos. Abaixo estão as principais propriedades da potenciação:
Propriedade da multiplicação de potências de mesma base:
a^m * a^n = a^(m + n)
Isso significa que quando temos a mesma base elevada a dois ou mais expoentes, podemos multiplicar os expoentes somando-os.
Exemplo:
2^3 * 2^4 = 2^(3 + 4) = 2^7 = 128
Propriedade da divisão de potências de mesma base:
a^m / a^n = a^(m - n)
Nessa propriedade, quando temos a mesma base elevada a expoentes diferentes, podemos dividir os expoentes subtraindo-os.
Exemplo:
5^6 / 5^2 = 5^(6 - 2) = 5^4 = 625
Propriedade da potência de uma potência:
(a^m)^n = a^(m * n)
Quando temos uma potência elevada a outro expoente, podemos encontrar o novo expoente multiplicando os dois expoentes.
Exemplo:
(2^3)^2 = 2^(3 * 2) = 2^6 = 64
Propriedade da potência de um produto:
(a * b)^n = a^n * b^n
Quando temos um produto elevado a um expoente, podemos distribuir o expoente para cada fator do produto.
Exemplo:
(3 * 4)^2 = 3^2 * 4^2 = 9 * 16 = 144
Propriedade da potência de um quociente:
(a / b)^n = a^n / b^n
Quando temos um quociente elevado a um expoente, podemos distribuir o expoente para o numerador e o denominador.
Exemplo:
(6 / 2)^3 = 6^3 / 2^3 = 216 / 8 = 27
Propriedade da potência de base 1:
a^0 = 1
Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Exemplo:
10^0 = 1
Propriedade da potência de base negativa:
(-a)^n = (-1)^n * a^n
Quando temos uma base negativa elevada a um expoente, podemos extrair o sinal negativo e multiplicar o resultado pelo valor absoluto da base elevada ao expoente.
Exemplo:
(-2)^3 = (-1)^3 * 2^3 = -1 * 8 = -8
Essas são algumas das principais propriedades da potenciação que ajudam a simplificar expressões e a resolver problemas envolvendo expoentes.
Notação científica
A notação científica é uma forma de representar números extremamente grandes ou extremamente pequenos de maneira mais concisa e conveniente. Ela é amplamente utilizada em ciências, matemática e engenharia, onde valores muito grandes ou muito pequenos são comuns. A notação científica consiste em escrever um número como o produto de uma potência de base 10 e um coeficiente.
Um número é representado em notação científica da seguinte forma:
a * 10^n
onde:
- "a" é um número decimal maior ou igual a 1 e menor que 10, conhecido como o coeficiente significativo.
- "10" é a base.
- "n" é um número inteiro positivo ou negativo que representa a potência de 10.
A notação científica coloca o número em uma forma padronizada, tornando mais fácil comparar valores e realizar cálculos com números muito grandes ou muito pequenos.
Exemplos:
300.000.000 em notação científica:
O número 300.000.000 pode ser escrito como 3 * 10^8 na notação científica.
0,000005 em notação científica:
O número 0,000005 pode ser escrito como 5 * 10^(-6) na notação científica.
602.000.000.000.000 em notação científica:
O número 602.000.000.000.000 pode ser escrito como 6,02 * 10^14 na notação científica.
0,000000000002 em notação científica:
O número 0,000000000002 pode ser escrito como 2 * 10^(-12) na notação científica.
Notação científica torna mais fácil lidar com números muito grandes ou muito pequenos em cálculos e representações, além de facilitar a compreensão da ordem de magnitude dos valores envolvidos.
Radiciação de números racionais
A radiciação de números racionais envolve calcular a raiz de uma fração ou extrair a raiz de um número racional. A radiciação é o processo inverso da potenciação, onde encontramos o número que, quando elevado a um certo expoente, resulta no número racional original. Vamos ver como realizar a radiciação de números racionais.
A raiz "n" de um número racional x/y é representada por:
√(x/y) = √x / √y
Nessa fórmula, "√" representa o símbolo da raiz e "n" é o índice da raiz.
Vamos ver alguns exemplos para ilustrar a radiciação de números racionais:
Raiz quadrada de 9/16:
√(9/16) = √9 / √16 = 3/4
Raiz cúbica de 27/64:
√(27/64) = √27 / √64 = 3/4
Raiz quadrada de 4/9:
√(4/9) = √4 / √9 = 2/3
Raiz cúbica de 8/27:
√(8/27) = √8 / √27 = 2/3
Raiz quadrada de 16/25:
√(16/25) = √16 / √25 = 4/5
É importante observar que, ao extrair a raiz de uma fração, podemos simplificar o resultado, se possível. Além disso, quando o índice da raiz é um número par, é possível que a fração original seja um número irracional (por exemplo, √2), mas o resultado da radiciação será uma fração racional, como nos exemplos acima.
Para calcular raízes de números racionais, podemos aplicar a mesma lógica da radiciação para números inteiros, mas considerando o numerador e o denominador separadamente e depois simplificando, se necessário.
Potenciação com expoente fracionário
A potenciação com expoente fracionário é uma extensão das regras de potenciação para incluir situações em que o expoente é uma fração. Quando temos um número elevado a um expoente fracionário, podemos usar as seguintes propriedades:
Potência de base com expoente fracionário:
a^(m/n) = n√(a^m)
Nessa propriedade, elevamos a base "a" à potência "m" e, em seguida, calculamos a raiz "n" do resultado.
Potência de fração com expoente inteiro:
(a/b)^n = (a^n)/(b^n)
Quando temos uma fração elevada a um expoente inteiro, podemos elevar o numerador e o denominador da fração separadamente.
Vamos ver alguns exemplos para entender melhor:
4^(2/3):
4^(2/3) = 3√(4^2) = 3√16 = 2
(5/2)^(3/2):
(5/2)^(3/2) = (5/2)^3 / (2)^3 = (125/8) / 8 = 125/64
(3/4)^(-1/2):
(3/4)^(-1/2) = 1 / √(3/4) = 1 / (2/√3) = √3 / 2
(2/3)^(4/5):
(2/3)^(4/5) = 5√(2^4) / 5√(3^4) = 5√16 / 5√81 = 2/3
Quando o expoente fracionário é um número inteiro, podemos aplicar as regras de potência para números inteiros. Quando o expoente fracionário é uma fração própria, podemos primeiro elevar a base à potência numerador e, em seguida, calcular a raiz indicada pelo denominador. E quando o expoente fracionário é uma fração imprópria, podemos dividir a potência numerador pela potência denominador.
Propriedades da radiciação
As propriedades da radiciação são regras que nos ajudam a manipular expressões envolvendo raízes de forma mais eficiente e conveniente. Vamos apresentar as principais propriedades da radiciação:
Raiz de um produto:
√(a * b) = √a * √b
A raiz quadrada (índice 2) de um produto é igual ao produto das raízes quadradas dos fatores.
Raiz de um quociente:
√(a / b) = √a / √b
A raiz quadrada (índice 2) de um quociente é igual ao quociente das raízes quadradas do numerador e do denominador.
Raiz de uma potência:
√(a^m) = a^(m/n)
A raiz quadrada (índice 2) de uma potência é igual a elevar a base à potência dividida pelo índice da raiz.
Propriedade da potência do quociente:
(a/b)^n = a^n / b^n
A raiz (índice n) de um quociente é igual ao quociente das raízes (índice n) do numerador e do denominador.
Radiciação de uma fração:
√(a/b) = √a / √b
A raiz quadrada (índice 2) de uma fração é igual ao quociente das raízes quadradas do numerador e do denominador.
Radiciação de uma raiz:
√(√a) = √a^(1/4) = a^(1/4)
A raiz quadrada de uma raiz é igual a elevar o radicando à potência 1/4.
Propriedade do quadrado de uma raiz:
(√a)^2 = a
O quadrado da raiz quadrada de um número é igual ao número original.
Essas propriedades são muito úteis na simplificação de expressões com raízes e também no cálculo de raízes de números. Elas permitem que transformemos operações de radiciação em operações mais simples, facilitando o manuseio de cálculos envolvendo raízes.
VAMOS VER SE APRENDEMOS!!
1. Qual é o resultado de 2³?
a) 6
b) 8
c) 9
d) 5
2. Qual é o resultado de (1/2)^3?
a) 1/6
b) 1/8
c) 1/2
d) 1/3
3. Qual é a raiz quadrada de 16?
a) 2
b) 4
c) 8
d) 12
4. Qual é a raiz cúbica de 27?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
5. Qual é o número 25.000 em notação científica?
a) 2,5 x 10^3
b) 2,5 x 10^4
c) 25 x 10^3
d) 25 x 10^4
6. Simplifique a expressão (3/4)²:
a) 9/16
b) 3/8
c) 6/16
d) 3/4
7. Qual é a raiz quadrada de 0,04?
a) 0,004
b) 0,0042
c) 0,2
d) 0,2²
8. Simplifique a expressão √(2/5)²:
a) 4/25
b) 2/5
c) 2/25
d) 4/5
9. Qual é a raiz cúbica de 125/8?
a) 5/2
b) 5/4
c) 25/8
d) 2/5
10. Qual das seguintes propriedades é aplicada quando temos a expressão √(ab)?
a) Potência de uma potência
b) Radiciação de uma fração
c) Raiz de um produto
d) Raiz de um quociente
Respostas:
1. b) 8
2. a) 1/8
3. b) 4
4. a) 3
5. b) 2,5 x 10^4
6. a) 9/16
7. c) 0,2
8. b) 2/5
9. a) 5/2
10. c) Raiz de um produto
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