Números Racionais 

Conjunto dos números racionais 

O conjunto dos números racionais, denotado por ℚ, é uma extensão do conjunto dos números inteiros (ℤ). Os números racionais incluem todos os números inteiros, bem como números na forma de frações em que o numerador e o denominador são inteiros e o denominador não é zero.

Formalmente, um número racional pode ser expresso como a/b, onde "a" e "b" são números inteiros e "b" é diferente de zero. O número "a" é chamado de numerador e o número "b" é chamado de denominador.

Exemplos de números racionais:

- 1/2

- -3/4

- 5 (pode ser expresso como 5/1)

Os números inteiros podem ser vistos como um subconjunto dos números racionais, onde o denominador é igual a 1. Portanto, todos os números inteiros também são números racionais.

É importante notar que os números racionais são chamados "racionais" porque podem ser expressos como uma razão (ou fração) de dois números inteiros. O conjunto dos números racionais é infinito e denso, o que significa que existem infinitos números racionais entre quaisquer dois números racionais diferentes.

Os números que não são racionais são chamados de números irracionais, como a raiz quadrada de 2 (√2) e o número π (pi). Esses números não podem ser expressos como frações de inteiros e, portanto, não pertencem ao conjunto dos números racionais.

Representação dos números racionais na reta numérica 

A reta numérica é uma linha reta onde cada ponto representa um número real. Para representar os números racionais na reta numérica, podemos seguir o seguinte procedimento:

1. Escolher um ponto de referência: Vamos escolher um ponto como origem da reta numérica, geralmente representado pelo número zero (0). Esse ponto servirá como referência para posicionarmos os números racionais ao longo da reta.

2. Escolher uma unidade de medida: Precisamos escolher uma unidade de medida, que será usada para marcar as distâncias ao longo da reta numérica. Por exemplo, podemos usar 1 centímetro para representar uma unidade.

3. Posicionar os números racionais: Agora, para cada número racional a/b, onde "a" é o numerador e "b" é o denominador, vamos seguir os seguintes passos:

   - Localizar o número inteiro a/b na reta numérica. Se "a" for negativo, posicionaremos o ponto à esquerda da origem; se for positivo, posicionaremos o ponto à direita da origem.

   - Dividir a unidade em b partes iguais e marcar o ponto que representa a fração a/b.

4. Conectar os pontos: Após posicionar todos os números racionais, podemos conectar os pontos com uma linha para mostrar a sequência ordenada dos números racionais na reta numérica.

Por exemplo, vamos representar os números racionais -2/3, 1/2 e 2/5 na reta numérica:

1. Escolhemos a origem como zero (0).

2. Usamos 1 centímetro como a unidade de medida.

3. Representação dos números racionais:

   - Representamos -2/3 posicionando o ponto -2/3 à esquerda da origem e dividimos a unidade em 3 partes iguais, marcando o ponto correspondente a -2/3.

   - Representamos 1/2 posicionando o ponto 1/2 à direita da origem e dividimos a unidade em 2 partes iguais, marcando o ponto correspondente a 1/2.

   - Representamos 2/5 posicionando o ponto 2/5 à direita da origem e dividimos a unidade em 5 partes iguais, marcando o ponto correspondente a 2/5.

A reta numérica ficaria assim:

(-2/3)--------------(0)--------------(1/2)---------------(2/5)

Portanto, os números racionais -2/3, 1/2 e 2/5 estão representados na reta numérica, respectivamente, à esquerda da origem, entre a origem e 1/2, e entre 1/2 e 2/5.

Representação decimal de números racionais: finita ou infinita e periódica 

A representação decimal de números racionais pode ser finita ou infinita e periódica, dependendo das características do próprio número racional.

1. Finita: Alguns números racionais têm representações decimais finitas. Isso significa que a parte decimal tem um número finito de dígitos após a vírgula. Por exemplo:

- 1/2 = 0.5 (finita)

- 3/4 = 0.75 (finita)

- 5/8 = 0.625 (finita)

Esses números racionais podem ser exatamente expressos como decimais finitos e não possuem parte decimal infinita.

2. Infinita e periódica: Outros números racionais têm representações decimais infinitas e periódicas. Isso ocorre quando a parte decimal repete um padrão indefinidamente. Esse padrão é chamado de período. Existem dois tipos de números racionais infinitos e periódicos:

   a. Infinita e periódica pura: O período começa imediatamente após a vírgula, sem nenhuma parte decimal não periódica. Por exemplo:

   - 1/3 = 0.333... (infinita e periódica "3" repetindo)

   - 2/7 = 0.285714285714... (infinita e periódica "285714" repetindo)

   b. Infinita e periódica mista: Nesse caso, há uma parte não periódica antes do período. Por exemplo:

   - 5/6 = 0.8333... (infinita e periódica "3" repetindo após o "8")

Esses números racionais não podem ser expressos exatamente com uma quantidade finita de dígitos decimais, pois o padrão se repete infinitamente.

É importante notar que todos os números racionais têm uma representação decimal, seja ela finita ou infinita e periódica. Em alguns casos, a representação decimal pode ser calculada manualmente, mas em outros casos, pode ser mais conveniente usar calculadoras ou ferramentas matemáticas para obter uma representação decimal precisa.

Módulo e simétrico de um número racional 

O módulo e o simétrico de um número racional estão relacionados com suas propriedades na reta numérica.

1. Módulo de um número racional:

O módulo de um número racional (ou valor absoluto) é uma medida de sua distância em relação ao zero na reta numérica, independentemente de ser positivo ou negativo. Para números racionais positivos, o módulo é igual ao próprio número. Para números racionais negativos, o módulo é o valor do número sem o sinal negativo.

Formalmente, o módulo de um número racional "a/b" é dado por:

|a/b| = |a|/|b|

Exemplos:

- O módulo de 5 é |5| = 5

- O módulo de -3 é |-3| = 3

- O módulo de 2/3 é |2/3| = 2/3

- O módulo de -4/7 é |-4/7| = 4/7

2. Simétrico de um número racional:

O simétrico de um número racional é o número que, somado ao número original, resulta em zero. Para um número racional "a/b", o simétrico é dado por "-a/b".

Exemplos:

- O simétrico de 5 é -5

- O simétrico de -3 é 3

- O simétrico de 2/3 é -2/3

- O simétrico de -4/7 é 4/7

Os conceitos de módulo e simétrico são importantes em várias áreas da matemática e têm aplicações práticas em problemas envolvendo distâncias, valores absolutos, e direções opostas. Na reta numérica, o módulo representa a distância entre um número e o zero, enquanto o simétrico é o número que está na posição oposta na reta numérica, em relação ao zero.

Comparação entre números racionais 

Ao comparar números racionais, você está interessado em determinar se um número é maior, menor ou igual a outro número. Para fazer isso, você pode seguir as seguintes regras:

1. **Denominadores iguais:** Se os números racionais têm o mesmo denominador, você pode comparar diretamente os numeradores. O número com o maior numerador será o maior, e o número com o menor numerador será o menor.

Exemplo: Comparar 3/5 e 2/5

- Ambos têm o mesmo denominador (5).

- Como 3 é maior do que 2, concluímos que 3/5 > 2/5.

2. **Denominadores diferentes:** Se os números racionais têm denominadores diferentes, você deve encontrar um denominador comum antes de compará-los.

Exemplo: Comparar 1/3 e 2/5

- O denominador comum mínimo é 15 (3 * 5).

- Converta ambos os números para ter o denominador comum:

   1/3 = 5/15 (multiplicando o numerador e o denominador por 5)

   2/5 = 6/15 (multiplicando o numerador e o denominador por 3)

- Agora, é fácil ver que 6/15 (ou 2/5) é maior que 5/15 (ou 1/3), portanto, concluímos que 2/5 > 1/3.

3. **Usando a reta numérica:** Você também pode usar a reta numérica para comparar números racionais. Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será. Se os números racionais estiverem na mesma parte da reta, você pode comparar seus valores absolutos (ou seja, ignorando o sinal) para determinar qual tem o maior valor.

Lembre-se de que, ao comparar números racionais, você precisa ter certeza de que está usando o mesmo tipo de número, ou seja, todos devem ser racionais. Se houver números irracionais na comparação, a tarefa pode ser mais complexa, pois eles não podem ser expressos como frações e não têm representações exatas na forma decimal.

Operações com números racionais 

As operações com números racionais incluem adição, subtração, multiplicação e divisão. Vou explicar cada uma delas:

1. Adição: Para somar dois números racionais, é necessário garantir que os denominadores sejam iguais. Se os denominadores forem diferentes, você precisa encontrar um denominador comum antes de realizar a adição. Depois disso, você pode somar os numeradores e manter o denominador comum. Por exemplo:

   - 1/3 + 2/3 = (1 + 2) / 3 = 3/3 = 1 (Após encontrar o denominador comum 3, somamos os numeradores 1 e 2.)

   - 2/5 + 1/6 = (12/30 + 5/30) = 17/30 (Encontramos o denominador comum 30 e somamos os numeradores 12 e 5.)

2. Subtração: Para subtrair um número racional de outro, siga o mesmo procedimento da adição, garantindo que os denominadores sejam iguais. Em seguida, subtraia os numeradores e mantenha o denominador comum. Por exemplo:

   - 3/4 - 1/4 = (3 - 1) / 4 = 2/4 = 1/2 (Encontramos o denominador comum 4 e subtraímos os numeradores 3 e 1.)

   - 5/6 - 1/3 = (5/6 - 2/6) = 3/6 = 1/2 (Encontramos o denominador comum 6 e subtraímos os numeradores 5 e 2.)

3. Multiplicação: Para multiplicar dois números racionais, simplesmente multiplique os numeradores e os denominadores. Por exemplo:

   - (2/3) * (3/4) = (2 * 3) / (3 * 4) = 6/12 = 1/2 (Multiplicamos os numeradores 2 e 3, e os denominadores 3 e 4.)

4. Divisão: Para dividir um número racional por outro, multiplique o primeiro número pelo inverso do segundo. O inverso de um número racional "a/b" é "b/a". Por exemplo:

   - (2/3) ÷ (1/4) = (2/3) * (4/1) = (2 * 4) / (3 * 1) = 8/3 (Multiplicamos o primeiro número pelo inverso do segundo.)

Além disso, é importante seguir as regras de sinais ao trabalhar com números racionais positivos e negativos. Por exemplo, um número negativo multiplicado ou dividido por um número positivo resulta em um número negativo. O mesmo acontece com a adição e subtração: um número negativo subtraído de um número positivo resulta em um número negativo.

Lembre-se de simplificar as frações, quando possível, reduzindo os numeradores e denominadores por seu máximo divisor comum (MDC). Fazer isso torna as operações mais fáceis e resulta em frações mais simples.

Expressões numéricas envolvendo números racionais 

Vamos trabalhar com algumas expressões numéricas envolvendo números racionais. Farei alguns exemplos para ilustrar como resolver essas expressões passo a passo:

Exemplo 1:

Calcule a expressão numérica: (1/2) + (3/4)

Passo 1: Encontrar o denominador comum (mínimo múltiplo comum) dos denominadores 2 e 4, que é 4.

Passo 2: Converter ambos os números para ter o denominador comum.

(1/2) + (3/4) = (2/4) + (3/4)

Passo 3: Somar os numeradores mantendo o denominador comum:

(2/4) + (3/4) = 5/4

Portanto, (1/2) + (3/4) = 5/4.

Exemplo 2:

Calcule a expressão numérica: (5/6) - (2/3)

Passo 1: Encontrar o denominador comum dos denominadores 6 e 3, que é 6.

Passo 2: Converter ambos os números para ter o denominador comum.

(5/6) - (2/3) = (5/6) - (4/6)

Passo 3: Subtrair os numeradores mantendo o denominador comum:

(5/6) - (4/6) = 1/6

Portanto, (5/6) - (2/3) = 1/6.

Exemplo 3:

Calcule a expressão numérica: (3/5) * (4/7)

Para multiplicar números racionais, basta multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores separadamente:

(3/5) * (4/7) = (3 * 4) / (5 * 7) = 12/35

Portanto, (3/5) * (4/7) = 12/35.

Exemplo 4:

Calcule a expressão numérica: (1/2) ÷ (3/4)

Para dividir números racionais, você deve multiplicar pelo inverso do divisor:

(1/2) ÷ (3/4) = (1/2) * (4/3)

Agora, procedemos com a multiplicação:

(1/2) * (4/3) = (1 * 4) / (2 * 3) = 4/6

Finalmente, simplificamos a fração:

4/6 = 2/3

Portanto, (1/2) ÷ (3/4) = 2/3.

Esses são apenas alguns exemplos de expressões numéricas envolvendo números racionais. É importante aplicar as regras corretamente para adição, subtração, multiplicação e divisão, conforme mencionado nas explicações anteriores, a fim de obter os resultados corretos.

VAMOS VER O QUANTO APRENDEMOS!

1. Qual é a representação decimal de 3/8?

   a) 0.375

   b) 0.85

   c) 0.333

   d) 0.125

2. Qual é o resultado da operação (2/5) + (1/3)?

   a) 11/15

   b) 5/8

   c) 1/2

   d) 5/6

3. Qual é o simétrico de -7/9?

   a) 7/9

   b) -9/7

   c) -7/9

   d) 9/7

4. Qual é o resultado da operação (5/6) - (2/3)?

   a) 1/6

   b) 2/3

   c) 3/6

   d) 5/3

5. Qual é o módulo de -2/5?

   a) -2/5

   b) 2/5

   c) -5/2

   d) 5/2

6. Qual é o resultado da operação (3/4) * (2/5)?

   a) 6/9

   b) 1/3

   c) 5/9

   d) 3/10

7. Qual é o resultado da operação (2/3) ÷ (4/5)?

   a) 5/12

   b) 10/15

   c) 5/6

   d) 3/2

8. Qual é a representação decimal de 7/12?

   a) 0.7

   b) 0.583333...

   c) 0.875

   d) 0.41

9. Qual é o número racional que tem o módulo igual a 3/4 e é negativo?

   a) -3/4

   b) 3/4

   c) -4/3

   d) 4/3

10. Qual é o número racional que é igual ao seu simétrico?

    a) 0

    b) 1

    c) 1/2

    d) -1

Respostas:

1. a) 0.375

2.  a) 11/15

3. a) 7/9

4. a) 1/6

5. b) 2/5

6. d) 3/10

7. c) 5/6

8. b) 0.583333...

9. a) -3/4

10. a) 0