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Introdução
Uma equação é uma expressão matemática que envolve incógnitas e operações matemáticas. Ela é uma igualdade que contém uma ou mais letras (representando as incógnitas) e números, relacionados por operações aritméticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. O objetivo em resolver uma equação é encontrar o valor ou os valores das incógnitas que tornam a igualdade verdadeira.
As equações estão presentes em várias áreas da matemática e têm aplicações práticas em diversas situações do cotidiano, nas ciências naturais, na economia, na engenharia e em muitas outras áreas. Elas permitem resolver problemas e tomar decisões baseadas em informações quantitativas.
Uma equação pode ser representada de diferentes formas, mas a forma padrão é escrita com um sinal de igual (=) entre duas expressões, como no exemplo abaixo:
Exemplo de equação linear:
3x + 5 = 11
Neste exemplo, "x" é a incógnita que desejamos encontrar, e a equação nos diz que o valor de "3x + 5" é igual a 11.
Para resolver uma equação, aplicamos operações matemáticas nos dois lados da igualdade de forma a isolar a incógnita em um dos lados e obter o seu valor. O objetivo é simplificar a equação até ficar na forma:
Exemplo de equação resolvida:
x = 2
Isso significa que o valor da incógnita "x" é 2, pois quando substituímos "x" por 2 na equação original, a igualdade se mantém verdadeira:
3(2) + 5 = 11
6 + 5 = 11
11 = 11
Há diversos tipos de equações, desde as simples, como as lineares, até as mais complexas, como as equações quadráticas, cúbicas e trigonométricas. A abordagem para resolver cada tipo pode variar, mas o princípio básico é sempre o mesmo: encontrar os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade.
Equações do 1º grau com uma incógnita
As equações do 1º grau com uma incógnita são aquelas em que a incógnita (normalmente representada por "x") aparece apenas na potência 1 e não há outras potências mais elevadas dela na equação. Essas equações são também chamadas de equações lineares e têm a forma geral:
ax + b = 0
Onde "a" e "b" são constantes, e "x" é a incógnita que procuramos resolver. O objetivo é encontrar o valor de "x" que satisfaça a igualdade.
Para resolver uma equação do 1º grau, podemos seguir alguns passos:
Passo 1: Isolar o termo que contém a incógnita "x" em um dos lados da equação, movendo todos os outros termos para o lado oposto. O objetivo é obter "x" sozinho em um dos lados.
Passo 2: Realizar as operações necessárias para simplificar a equação.
Passo 3: Encontrar o valor de "x" que torna a equação verdadeira.
Exemplo 1:
Resolva a equação: 2x - 3 = 7
Passo 1: Isolar o termo com "x" no lado esquerdo, movendo o -3 para o lado direito:
2x = 7 + 3
2x = 10
Passo 2: Dividir ambos os lados por 2 para isolar "x":
x = 10 / 2
x = 5
Portanto, a solução da equação é x = 5.
Exemplo 2:
Resolva a equação: 3(2x + 4) = 21
Passo 1: Distribuir o 3 no lado esquerdo da equação:
6x + 12 = 21
Passo 2: Isolar o termo com "x", movendo o 12 para o lado direito:
6x = 21 - 12
6x = 9
Passo 3: Dividir ambos os lados por 6 para encontrar o valor de "x":
x = 9 / 6
x = 1.5
Portanto, a solução da equação é x = 1.5.
Esses são exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita, e a resolução segue os mesmos princípios básicos apresentados. Sempre que encontrarmos o valor de "x" que satisfaz a igualdade, teremos a solução para a equação.
Fração geratriz de uma dízima periódica
A fração geratriz de uma dízima periódica é uma representação fracionária exata de um número decimal periódico. Uma dízima periódica é um número decimal que possui um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Por exemplo, o número 0,333... é uma dízima periódica, pois o algarismo "3" se repete infinitamente.
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, devemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Identificar o padrão de repetição na dízima periódica.
Passo 2: Escrever uma equação que relacione o número decimal periódico com uma fração desconhecida (fração geratriz). Essa equação permite encontrar a fração geratriz.
Passo 3: Resolver a equação para encontrar a fração geratriz.
Vamos exemplificar com um número decimal periódico: 0,666...
Passo 1: Identificar o padrão de repetição. Neste caso, o algarismo "6" se repete infinitamente.
Passo 2: Escrever a equação com a fração geratriz "x":
x = 0,666...
Passo 3: Multiplicar ambos os lados da equação por 10 para eliminar a vírgula após o primeiro algarismo decimal:
10x = 6,666...
Agora, subtrair a equação original da equação multiplicada por 10 para eliminar a parte decimal repetida:
10x - x = 6,666... - 0,666...
9x = 6
Passo 4: Isolar "x" dividindo ambos os lados da equação por 9:
x = 6/9
Agora, simplificamos a fração, se possível:
x = 2/3
Portanto, a fração geratriz para o número decimal periódico 0,666... é 2/3.
Esse método pode ser aplicado a outras dízimas periódicas para encontrar a fração geratriz correspondente. Vale lembrar que nem todo número decimal é expressável como uma fração finita ou como uma dízima periódica. Alguns números decimais são irracionais, o que significa que não podem ser representados por frações exatas.
Equações do 1º grau com duas incógnitas
As equações do 1º grau com duas incógnitas são expressões matemáticas que contêm duas variáveis desconhecidas, normalmente representadas por "x" e "y", e cujos expoentes nessas variáveis são iguais a 1. Essas equações têm a forma geral:
ax + by = c
Onde "a", "b" e "c" são constantes, e "x" e "y" são as incógnitas que desejamos encontrar. O objetivo é encontrar os valores de "x" e "y" que tornam a igualdade verdadeira.
Resolver uma equação do 1º grau com duas incógnitas envolve encontrar uma solução que satisfaça simultaneamente ambas as equações. Essa solução representa o ponto de interseção das retas que representam cada uma das equações no plano cartesiano.
Normalmente, para resolver um sistema de duas equações lineares, utilizamos um dos seguintes métodos:
Método da substituição: Isolamos uma das incógnitas em uma das equações e substituímos seu valor na outra equação, formando uma nova equação com apenas uma variável. Em seguida, resolvemos essa nova equação para encontrar o valor de uma das incógnitas. Depois, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.
Método da adição ou eliminação: Multiplicamos uma ou ambas as equações por um número para fazer com que os coeficientes de uma das incógnitas sejam iguais em magnitude, mas de sinais opostos. Em seguida, somamos ou subtraímos as equações para eliminar uma das incógnitas, formando uma nova equação com apenas uma variável. Então, resolvemos essa nova equação para encontrar o valor de uma das incógnitas. Novamente, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.
Vamos exemplificar um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas utilizando o método da substituição:
Exemplo:
Resolver o sistema:
1) 2x + y = 10
2) 3x - y = 4
Passo 1: Isolar "y" na primeira equação:
y = 10 - 2x
Passo 2: Substituir o valor de "y" na segunda equação:
3x - (10 - 2x) = 4
Passo 3: Resolver a equação para encontrar o valor de "x":
3x - 10 + 2x = 4
5x - 10 = 4
5x = 14
x = 14/5
Passo 4: Substituir o valor de "x" em uma das equações originais (vamos usar a primeira equação) para encontrar o valor de "y":
2(14/5) + y = 10
28/5 + y = 10
y = 10 - 28/5
y = (50 - 28)/5
y = 22/5
Portanto, a solução do sistema de equações é x = 14/5 e y = 22/5. Esse é o ponto de interseção das duas retas que representam as equações no plano cartesiano.
Resolução gráfica de uma equação do 1o grau com duas incógnitas
Para resolver graficamente uma equação do 1º grau com duas incógnitas, você deve representar a equação em um sistema de coordenadas cartesianas (plano cartesiano) e encontrar o ponto de interseção das retas correspondentes às duas expressões da equação. Lembre-se que uma equação do 1º grau em duas incógnitas é geralmente escrita na forma:
ax + by = c
Onde 'a', 'b' e 'c' são constantes e 'x' e 'y' são as incógnitas que queremos encontrar.
Vamos seguir um exemplo para ilustrar o processo:
Exemplo:
Resolva graficamente o sistema de equações:
1) 2x + y = 4
2) x - y = 2
Passo 1: Representar as equações no plano cartesiano:
Para isso, é conveniente encontrar os pontos em que as retas interceptam os eixos x e y, traçar as retas correspondentes e identificar o ponto de interseção.
Equação 1: 2x + y = 4
Quando x = 0, temos: 2(0) + y = 4 => y = 4
Quando y = 0, temos: 2x + 0 = 4 => x = 2
Portanto, o ponto (0, 4) representa a interseção da reta com o eixo y, e o ponto (2, 0) representa a interseção da reta com o eixo x.
Equação 2: x - y = 2
Quando x = 0, temos: 0 - y = 2 => y = -2
Quando y = 0, temos: x - 0 = 2 => x = 2
Portanto, o ponto (0, -2) representa a interseção da reta com o eixo y, e o ponto (2, 0) representa a interseção da reta com o eixo x.
Passo 2: Plotar as retas no plano cartesiano:
Agora, desenhe as retas correspondentes aos pontos encontrados anteriormente. No caso deste exemplo, ambas as retas passam pelo ponto (2, 0).
Passo 3: Encontrar o ponto de interseção:
O ponto de interseção é o ponto em que as duas retas se cruzam. No exemplo, esse ponto é o ponto (2, 0).
Passo 4: Interpretar a solução:
O ponto de interseção (2, 0) é a solução do sistema de equações. Isso significa que as duas equações se intersectam nesse ponto, e os valores de 'x' e 'y' que satisfazem ambas as equações simultaneamente são x = 2 e y = 0.
Esse é o procedimento para resolver graficamente um sistema de equações lineares com duas incógnitas. Em alguns casos, as retas podem ser paralelas, o que significa que não há solução única para o sistema. Em outros casos, as retas podem ser coincidentes, indicando que há uma infinidade de soluções para o sistema. A representação gráfica é uma maneira visual de entender o sistema de equações e sua solução.
Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas
Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas são conjuntos de duas equações lineares que possuem duas variáveis desconhecidas, normalmente representadas por "x" e "y". Esses sistemas têm a forma geral:
1) ax + by = c
2) dx + ey = f
Onde "a", "b", "c", "d", "e" e "f" são constantes conhecidas, e "x" e "y" são as incógnitas que queremos encontrar. A solução do sistema é o par ordenado (x, y) que satisfaz ambas as equações simultaneamente, ou seja, faz com que as duas igualdades sejam verdadeiras ao mesmo tempo.
Existem diferentes métodos para resolver sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, sendo os mais comuns:
Método da Substituição: Nesse método, isolamos uma das incógnitas em uma das equações e substituímos o valor encontrado na outra equação. Isso cria uma nova equação com apenas uma variável, que pode ser resolvida para encontrar o valor dessa incógnita. Em seguida, substituímos esse valor na primeira equação para encontrar o valor da outra incógnita.
Método da Adição ou Eliminação: Nesse método, multiplicamos uma ou ambas as equações por um número de forma a obter coeficientes opostos para uma das incógnitas. Somamos ou subtraímos as equações nesse formato para eliminar essa incógnita, resultando em uma equação com apenas uma variável. A partir daí, resolvemos essa equação para encontrar o valor de uma das incógnitas. Então, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.
Método da Matriz (Regra de Cramer): Esse método é baseado na teoria das matrizes e determinantes. Através de cálculos determinísticos, encontramos os valores das incógnitas "x" e "y".
Vamos exemplificar a resolução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas utilizando o método da substituição:
Exemplo:
Resolver o sistema:
1) 2x + y = 7
2) 3x - 2y = 4
Passo 1: Isolar "y" na primeira equação:
y = 7 - 2x
Passo 2: Substituir o valor de "y" na segunda equação:
3x - 2(7 - 2x) = 4
Passo 3: Resolver a equação para encontrar o valor de "x":
3x - 14 + 4x = 4
7x - 14 = 4
7x = 18
x = 18/7
Passo 4: Substituir o valor de "x" em uma das equações originais (vamos usar a primeira equação) para encontrar o valor de "y":
2(18/7) + y = 7
36/7 + y = 7
y = 7 - 36/7
y = (49 - 36)/7
y = 13/7
Portanto, a solução do sistema de equações é x = 18/7 e y = 13/7. Esse é o par ordenado que satisfaz ambas as equações simultaneamente.
Resolução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas
A resolução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas envolve encontrar o valor das incógnitas (normalmente representadas por "x" e "y") que tornam verdadeiras ambas as equações simultaneamente. Existem vários métodos para resolver sistemas de equações, mas aqui vou apresentar os dois métodos mais comuns: o método da substituição e o método da adição (ou eliminação).
Vamos exemplificar ambos os métodos com o seguinte sistema de equações:
Sistema:
1) 3x + y = 7
2) 2x - 4y = -2
Método da Substituição:
Passo 1: Isolar uma das incógnitas em uma das equações. Vamos isolar "y" na primeira equação:
y = 7 - 3x
Passo 2: Substituir o valor de "y" na segunda equação:
2x - 4(7 - 3x) = -2
Passo 3: Resolver a equação para encontrar o valor de "x":
2x - 28 + 12x = -2
14x - 28 = -2
14x = 26
x = 26/14
x = 13/7
Passo 4: Substituir o valor de "x" em uma das equações originais (vamos usar a primeira equação) para encontrar o valor de "y":
3(13/7) + y = 7
39/7 + y = 7
y = 7 - 39/7
y = (49 - 39)/7
y = 10/7
Portanto, a solução do sistema de equações é x = 13/7 e y = 10/7.
Método da Adição (ou Eliminação):
Passo 1: Multiplicar as duas equações por números que façam com que os coeficientes de "y" sejam iguais, mas com sinais opostos. Vamos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda equação por 1 para isso:
4(3x + y) = 4(7) => 12x + 4y = 28
1(2x - 4y) = 1(-2) => 2x - 4y = -2
Passo 2: Somar as equações para eliminar "y":
(12x + 4y) + (2x - 4y) = 28 - 2
14x = 26
x = 26/14
x = 13/7
Passo 3: Substituir o valor de "x" em uma das equações originais (vamos usar a primeira equação) para encontrar o valor de "y":
3(13/7) + y = 7
39/7 + y = 7
y = 7 - 39/7
y = (49 - 39)/7
y = 10/7
Novamente, a solução do sistema de equações é x = 13/7 e y = 10/7.
Ambos os métodos levaram ao mesmo resultado. A solução do sistema é o par ordenado (x, y) = (13/7, 10/7). Isso significa que as duas equações do sistema são verdadeiras quando "x" é igual a 13/7 e "y" é igual a 10/7.
Classificação de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas em: SPD, SI ou SPI
Os sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas podem ser classificados em três tipos: SPD (Sistema Possível Determinado), SI (Sistema Impossível) ou SPI (Sistema Possível Indeterminado), dependendo do número de soluções que eles possuem.
SPD (Sistema Possível Determinado):
Um sistema de equações é classificado como SPD quando possui uma única solução que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Graficamente, isso representa a interseção de duas retas em um único ponto no plano cartesiano.
Exemplo de SPD:
Sistema:
1) 2x + y = 5
2) 3x - 2y = 4
Esse sistema tem uma única solução, que é x = 2 e y = 1. As duas retas se intersectam em um único ponto no plano cartesiano.
SI (Sistema Impossível):
Um sistema de equações é classificado como SI quando não possui solução, ou seja, não há nenhum par ordenado (x, y) que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Graficamente, isso representa retas paralelas no plano cartesiano.
Exemplo de SI:
Sistema:
1) 3x + 2y = 8
2) 6x + 4y = 10
Nesse caso, as duas retas são paralelas e nunca se intersectam. Portanto, não há solução para esse sistema.
SPI (Sistema Possível Indeterminado):
Um sistema de equações é classificado como SPI quando possui infinitas soluções que satisfaçam ambas as equações simultaneamente. Graficamente, isso representa retas coincidentes, ou seja, uma reta sobreposta à outra no plano cartesiano.
Exemplo de SPI:
Sistema:
1) 2x - y = 3
2) 4x - 2y = 6
Nesse caso, as duas equações representam retas coincidentes, pois são múltiplos uma da outra. Portanto, há infinitas soluções que tornam esse sistema possível.
A classificação de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas como SPD, SI ou SPI depende do número de soluções que ele possui. SPD tem uma única solução, SI não tem solução e SPI tem infinitas soluções. A análise gráfica das retas correspondentes é uma maneira visual de compreender essa classificação.
VAMOS PRATICAR!!
Questão 1:
Qual é o resultado da seguinte equação do 1º grau com uma incógnita?
3x + 5 = 17
a) x = 4
b) x = 6
c) x = 7
d) x = 8
Questão 2:
O número decimal 0,25 é uma:
a) Fração imprópria
b) Fração aparente
c) Fração geratriz
d) Fração ordinária
Questão 3:
Qual é a fração geratriz do número decimal periódico 0,333...?
a) 1/3
b) 2/3
c) 3/9
d) 4/12
Questão 4:
Resolva o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas:
1) 2x + y = 6
2) x - 3y = 9
a) x ≈ 3,857 y ≈ -1,714
b) x = 3/2 e y = 2
c) x = 2 e y = 1
d) x = 2 e y = -1
Questão 5:
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é classificado como SPD quando:
a) Possui uma única solução
b) Possui infinitas soluções
c) Não possui solução
d) Nenhuma das alternativas acima
Questão 6:
Qual é a fração geratriz do número decimal 0,666...?
a) 2/3
b) 3/6
c) 6/9
d) 7/9
Questão 7:
Qual método pode ser utilizado para resolver sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas onde uma das equações é resolvida para isolar uma das incógnitas e, em seguida, substituir seu valor na outra equação?
a) Método da Subtração
b) Método da Adição
c) Método da Substituição
d) Método da Eliminação
Questão 8:
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é classificado como SI quando:
a) Possui uma única solução
b) Possui infinitas soluções
c) Não possui solução
d) Nenhuma das alternativas acima
Questão 9:
Qual é o valor de "x" na seguinte equação do 1º grau com duas incógnitas?
2x - y = 5
3x + 2y = 10
a) x = 2
b) x = 1
c) x = 3
d) x = 4
Questão 10:
Qual método pode ser utilizado para resolver sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas através da soma ou subtração das equações após multiplicá-las por números para obter coeficientes opostos para uma das incógnitas?
a) Método da Subtração
b) Método da Adição
c) Método da Substituição
d) Método da Eliminação
Respostas:
1) a
2) c
3) a
4) a
5) a
6) a
7) c
8) c
9) c)
10) b
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