Frações 

Introdução às Frações

As frações são uma parte fundamental da matemática e são usadas para representar partes de um todo. Elas nos permitem expressar quantidades que não são números inteiros, mas sim partes de uma unidade inteira. Frações são frequentemente usadas em situações em que temos um objeto ou quantidade que foi dividida em partes iguais e queremos representar quantas dessas partes possuímos ou estamos usando.

Conceito de Fração como uma Parte de um Todo:

Uma fração é composta por duas partes principais: o numerador e o denominador. O numerador é o número localizado acima de uma linha horizontal (barra) e representa o número de partes que estamos considerando. O denominador é o número localizado abaixo da linha horizontal e indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.

Por exemplo, consideremos a fração 3/4. Nesse caso, o numerador é 3, o que significa que estamos considerando 3 partes do todo, e o denominador é 4, indicando que o todo foi dividido em 4 partes iguais.

Identificação do Numerador e Denominador:

Para identificar o numerador e o denominador em uma fração, basta observar a sua representação. Como mencionado anteriormente, o numerador está acima da linha horizontal e o denominador está abaixo dela.

Frações Equivalentes:

Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade, mas são escritas de forma diferente. Elas possuem numeradores e denominadores diferentes, mas ao serem simplificadas, resultam no mesmo valor numérico.

Por exemplo, as frações 1/2 e 2/4 são equivalentes, porque, ao simplificarmos ambas, resultam em 0,5. Podemos obter uma fração equivalente multiplicando ou dividindo tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número.

As frações equivalentes são importantes, pois permitem representar a mesma quantidade de diferentes maneiras, tornando mais fácil a manipulação e compreensão das quantidades envolvidas em um problema matemático.

Frações Próprias e Frações Impróprias:

A diferença entre frações próprias e impróprias está relacionada à relação entre o numerador e o denominador da fração.

Frações Próprias: Uma fração é considerada própria quando o numerador (número de partes que estamos considerando) é menor do que o denominador (o número de partes iguais em que o todo foi dividido). Em outras palavras, o valor da fração é menor do que 1. Exemplos de frações próprias incluem 1/2, 3/5, e 7/8.

Frações Impróprias: Por outro lado, uma fração é chamada de imprópria quando o numerador é igual ou maior do que o denominador. Nesse caso, a fração representa um valor igual ou maior que 1. Exemplos de frações impróprias incluem 5/4, 9/7 e 11/3.

Representação de Frações Impróprias como Números Mistos:

Uma fração imprópria pode ser representada como um número misto, que consiste em uma parte inteira e uma fração própria. Essa representação mista facilita a compreensão do valor numérico da fração imprópria e torna mais fácil sua interpretação em contexto real.

Para converter uma fração imprópria em um número misto, você deve dividir o numerador pelo denominador. O quociente inteiro resultante será a parte inteira do número misto, enquanto o resto da divisão será o numerador da fração própria. O denominador permanece o mesmo.

Por exemplo, para representar a fração imprópria 7/3 como um número misto, realizamos a divisão:

7 ÷ 3 = 2 com resto 1

Portanto, 7/3 é equivalente ao número misto 2 1/3. O número 2 representa a parte inteira e 1/3 representa a fração própria.

Essa representação é útil, pois torna a fração imprópria mais fácil de visualizar e entender em termos de "quantidade inteira mais uma parte fracionária". É especialmente útil ao lidar com medidas e quantidades no dia a dia, onde números mistos são frequentemente utilizados para representar valores fracionários de forma mais intuitiva.

Comparação de frações 

Para comparar frações, podemos utilizar os símbolos matemáticos < (menor que), > (maior que) ou = (igual a). Para fazer a comparação, podemos usar algumas estratégias, como encontrar um denominador comum ou usar frações de referência, como 1/2, 1/4, etc.

1. Encontrar um denominador comum:

Para comparar frações com denominadores diferentes, podemos encontrar um denominador comum para ambas as frações e, em seguida, verificar qual numerador é maior. Por exemplo:

Comparar 2/5 e 3/8:

Encontrar o denominador comum: O menor múltiplo comum de 5 e 8 é 40.

Convertendo as frações: (2/5) x (8/8) = 16/40 e (3/8) x (5/5) = 15/40.

Agora podemos comparar: 16/40 < 15/40.

2. Uso de frações de referência:

Outra estratégia é comparar as frações com frações de referência comumente conhecidas, como 1/2, 1/4, 3/4, etc. Por exemplo:

Comparar 2/3 e 3/4 usando 1/2 como referência:

1/2 < 2/3 < 3/4

Comparar 5/8 e 3/4 usando 1/4 como referência:

1/4 < 5/8 < 3/4

Essas frações de referência nos ajudam a visualizar e entender melhor a relação entre as frações em comparação.

Lembre-se de que, ao comparar frações, também podemos usar técnicas de simplificação para facilitar a comparação. Simplificar uma fração envolve dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo mesmo número, resultando em uma fração equivalente com valores menores.

Comparar frações é uma habilidade importante em matemática, especialmente ao lidar com situações do cotidiano e resolução de problemas que envolvem quantidades fracionárias.

Operações com frações 

Para realizar a adição e subtração de frações, é necessário encontrar denominadores comuns para as frações envolvidas. Em seguida, após realizar a operação, é importante reduzir a resposta à forma mais simples.

Vamos explicar o processo passo a passo para adição e subtração de frações:

Adição de Frações:

Encontre um denominador comum: Verifique os denominadores das frações envolvidas e encontre o menor múltiplo comum (MMC) entre eles. Esse será o denominador comum para as frações. Se os denominadores já forem iguais, você pode pular para a próxima etapa.

Igualar os denominadores: Para adicionar as frações, você precisa ter denominadores iguais. Para isso, multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo fator necessário para igualar os denominadores. Isso não altera o valor da fração, apenas sua forma.

Some os numeradores: Com os denominadores iguais, some os numeradores das frações.

Reduza a resposta: Se possível, simplifique a fração resultante para a forma mais simples, dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior divisor comum (MDC) entre eles.

Subtração de Frações:

O processo para subtrair frações é semelhante ao da adição, mas em vez de somar os numeradores, você subtrai os numeradores depois de encontrar um denominador comum.

Encontre um denominador comum: Verifique os denominadores das frações envolvidas e encontre o menor múltiplo comum (MMC) entre eles.

Igualar os denominadores: Multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo fator necessário para igualar os denominadores.

Subtraia os numeradores: Com os denominadores iguais, subtraia os numeradores das frações.

Reduza a resposta: Se possível, simplifique a fração resultante para a forma mais simples, dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior divisor comum (MDC) entre eles.

Vamos ilustrar com um exemplo:

Exemplo de adição:

1/3 + 1/6

1. Denominador comum: O MMC de 3 e 6 é 6.

2. Igualar os denominadores: (1/3) x (2/2) + (1/6) x (1/1) = 2/6 + 1/6

3. Somar os numeradores: 2/6 + 1/6 = 3/6

4. Reduzir a resposta: 3/6 pode ser simplificado para 1/2.

Exemplo de subtração:

3/4 - 1/2

1. Denominador comum: O MMC de 4 e 2 é 4.

2. Igualar os denominadores: (3/4) x (1/1) - (1/2) x (2/2) = 3/4 - 2/4

3. Subtrair os numeradores: 3/4 - 2/4 = 1/4

Neste caso, não é possível simplificar mais a resposta, pois 1/4 já está na forma mais simples.

Lembre-se de sempre verificar se é possível simplificar a resposta final para garantir que esteja na forma mais simples possível.

Para multiplicar frações, você pode seguir as seguintes etapas:

Multiplicação de Frações por Números Inteiros:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, basta multiplicar o numerador da fração pelo número inteiro e manter o denominador inalterado.

Exemplo:

Vamos multiplicar a fração 3/5 por 4.

Resultado: (3/5) x 4 = (3 x 4) / 5 = 12/5.

Simplificação dos Resultados:

Após realizar a multiplicação, é importante simplificar a fração resultante, se possível, para expressá-la na forma mais simples.

Para simplificar uma fração, divida tanto o numerador quanto o denominador pelo maior divisor comum (MDC) entre eles.

Exemplo:

Vamos simplificar a fração 12/5.

O MDC de 12 e 5 é 1 (pois 12 e 5 não têm divisores em comum além de 1).

Resultado simplificado: 12/5 (neste caso, a fração já está na forma mais simples, pois não pode ser mais simplificada).

Lembre-se de que nem todas as multiplicações de frações resultarão em frações que podem ser simplificadas, mas é sempre uma boa prática verificar se a fração final pode ser reduzida a uma forma mais simples.

Exemplo:

Vamos multiplicar as frações 2/3 e 4/5.

Resultado: (2/3) x (4/5) = (2 x 4) / (3 x 5) = 8/15.

O MDC de 8 e 15 é 1, então a fração 8/15 não pode ser simplificada ainda mais.

Para realizar a divisão de frações, você pode utilizar o conceito do inverso multiplicativo (recíproco) da segunda fração e, em seguida, multiplicar as frações. Vamos explicar passo a passo como fazer isso:

Divisão de Frações por Números Inteiros:

Para dividir uma fração por um número inteiro, você pode transformar o número inteiro em uma fração com denominador igual a 1 e, em seguida, utilizar o conceito do inverso multiplicativo para realizar a operação.

Exemplo:

Vamos dividir a fração 3/4 por 2.

Passo 1: Transforme o número inteiro em uma fração:

2 pode ser escrito como 2/1.

Passo 2: Utilize o inverso multiplicativo (recíproco) da segunda fração:

O inverso de 2/1 é 1/2.

Passo 3: Multiplique as frações:

(3/4) ÷ (2/1) = (3/4) x (1/2) = (3 x 1) / (4 x 2) = 3/8.

Portanto, a divisão de 3/4 por 2 resulta em 3/8.

Inverso Multiplicativo (Recíproco) para Resolver Problemas de Divisão:

Quando você precisa dividir uma fração por outra, pode utilizar o conceito do inverso multiplicativo (recíproco) para transformar a divisão em uma multiplicação.

Exemplo:

Vamos dividir a fração 2/3 por 5/6.

Passo 1: Encontre o inverso multiplicativo da segunda fração:

O inverso de 5/6 é 6/5.

Passo 2: Multiplique as frações:

(2/3) ÷ (5/6) = (2/3) x (6/5) = (2 x 6) / (3 x 5) = 12/15.

Passo 3: Simplifique a resposta (se possível):

O MDC de 12 e 15 é 3, então podemos simplificar a fração resultante:

12/15 = (12 ÷ 3) / (15 ÷ 3) = 4/5.

Portanto, a divisão de 2/3 por 5/6 resulta em 4/5.

Lembre-se sempre de simplificar a resposta final, se possível, dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior divisor comum (MDC) entre eles. A utilização do conceito do inverso multiplicativo (recíproco) facilita a resolução de problemas de divisão envolvendo frações.

Conversão de Frações em Números Decimais e Vice-Versa:

Conversão de Frações em Números Decimais:

Para converter uma fração em um número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. O resultado será o valor decimal equivalente à fração.

Exemplo 1:

Vamos converter a fração 3/4 em um número decimal.

3 ÷ 4 = 0.75

Portanto, 3/4 é igual a 0.75 em formato decimal.

Exemplo 2:

Vamos converter a fração 5/8 em um número decimal.

5 ÷ 8 ≈ 0.625

Portanto, 5/8 é aproximadamente igual a 0.625 em formato decimal.

Conversão de Números Decimais em Frações:

Para converter um número decimal em uma fração, você pode utilizar algumas estratégias, dependendo do número de casas decimais.

Exemplo 1:

Vamos converter o número decimal 0.5 em uma fração.

0.5 = 5/10

Como podemos simplificar essa fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 5, a fração simplificada é 1/2.

Exemplo 2:

Vamos converter o número decimal 0.75 em uma fração.

0.75 = 75/100

Para simplificar essa fração, dividimos tanto o numerador quanto o denominador por 25, resultando em 3/4.

Comparação de Frações e Números Decimais:

Para comparar frações e números decimais, é útil converter todos os valores para o mesmo formato (fração ou número decimal). Em seguida, podemos compará-los diretamente.

Exemplo 1:

Vamos comparar a fração 3/4 e o número decimal 0.6.

3/4 = 0.75

Agora podemos comparar: 0.75 > 0.6.

Portanto, 3/4 é maior que 0.6.

Exemplo 2:

Vamos comparar a fração 1/5 e o número decimal 0.2.

1/5 = 0.2

Agora podemos comparar: 0.2 = 0.2.

Portanto, 1/5 é igual a 0.2.

Lembre-se de que a comparação entre frações e números decimais depende da conversão adequada para o mesmo formato. Se necessário, simplifique as frações para uma comparação mais precisa.

Frações são amplamente utilizadas em situações do cotidiano, seja em medidas, receitas, compras ou outras atividades práticas. Aqui estão alguns exemplos de como as frações são aplicadas no dia a dia:

1. Medidas:

- Receitas de cozinha: Muitas receitas requerem o uso de frações para medir ingredientes, como xícaras (1/2 xícara de farinha), colheres de sopa (1/4 de colher de sopa de sal) e outros.

- Construção: Na construção, as medidas são frequentemente representadas por frações, como 1/2 polegada ou 3/4 de metro.

2. Compras:

- Frações de dinheiro: Em compras, podemos encontrar preços quebrados, como R$ 1,99 ou R$ 2,50, que são representados em frações de reais.

- Descontos e promoções: Ao calcular descontos ou porcentagens em compras, é comum trabalhar com frações.

3. Divisão de Quantidades:

- Partilha de alimentos: Quando dividimos uma pizza em pedaços iguais ou compartilhamos um bolo em uma festa, estamos dividindo as quantidades em frações.

4. Tempo:

- Frações de hora: Expressar o tempo em frações de hora é comum em muitos contextos, como 1/2 hora ou 3/4 de hora.

5. Resolução de Problemas:

- Problemas matemáticos: Em problemas matemáticos ou situações de resolução de problemas, as frações podem ser usadas para representar proporções, quantidades de partes de um todo, taxas e muito mais.

Exemplo de Problema:

Imagine que você está seguindo uma receita para fazer cookies. A receita pede 1/2 xícara de açúcar, 3/4 de xícara de manteiga e 1/3 de xícara de chocolate em pedaços. Você precisa calcular as quantidades corretas para cada ingrediente com base na quantidade de cookies que deseja fazer.

Neste exemplo, você precisa somar e dividir as frações para obter as quantidades corretas de cada ingrediente, de acordo com o número desejado de cookies.

Frações são ferramentas poderosas e versáteis na vida diária e na solução de problemas em várias situações. Ao compreender o conceito de frações e praticar seu uso em contextos do cotidiano, você pode se tornar mais habilidoso em lidar com as quantidades fracionárias de forma eficiente e precisa.

Frações Equivalentes:

Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade, mas são escritas de forma diferente. Elas possuem numeradores e denominadores diferentes, mas ao serem simplificadas, resultam no mesmo valor numérico. Para identificar frações equivalentes, você pode utilizar algumas estratégias:

Multiplicação e divisão: Para encontrar uma fração equivalente, multiplique ou divida tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número diferente de zero. Por exemplo, a fração 2/3 é equivalente a 4/6 porque 2/3 x 2/2 = 4/6.

Redução aos menores termos: Para verificar se duas frações são equivalentes, simplifique ambas para a forma mais reduzida e veja se elas possuem o mesmo valor. Por exemplo, as frações 2/4 e 1/2 são equivalentes porque ambas podem ser reduzidas para 1/2.

Simplificação de Frações à Sua Forma Mais Reduzida:

A simplificação de frações envolve reduzir a fração a sua forma mais reduzida, ou seja, dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior divisor comum (MDC) entre eles. Para simplificar uma fração, siga os seguintes passos:

1. Encontre o MDC entre o numerador e o denominador.

2. Divida ambos numerador e denominador pelo MDC.

Exemplo 1:

Simplifique a fração 6/12.

Passo 1: O MDC de 6 e 12 é 6.

Passo 2: Divida ambos numerador e denominador por 6: 6/6 ÷ 12/6 = 1/2.

Portanto, 6/12 simplificado é igual a 1/2.

Exemplo 2:

Simplifique a fração 8/16.

Passo 1: O MDC de 8 e 16 é 8.

Passo 2: Divida ambos numerador e denominador por 8: 8/8 ÷ 16/8 = 1/2.

Portanto, 8/16 simplificado é igual a 1/2.

Lembre-se de sempre simplificar as frações quando possível, pois isso facilita a compreensão e a manipulação das quantidades envolvidas, além de deixar as respostas mais organizadas e concisas.

Frações mistas

Frações mistas (ou números mistos) são números compostos por uma parte inteira e uma fração própria. A conversão entre frações impróprias e números mistos é bastante útil em diversas situações cotidianas.

Conversão de Frações Impróprias em Números Mistos:

Para converter uma fração imprópria em um número misto, divida o numerador pelo denominador. O quociente inteiro será a parte inteira do número misto, e o resto será o numerador da fração própria. O denominador permanece o mesmo.

Exemplo 1:

Vamos converter a fração imprópria 7/4 em um número misto.

Passo 1: Divida o numerador (7) pelo denominador (4):

7 ÷ 4 = 1 com resto 3.

Passo 2: Escreva o número misto:

7/4 = 1 3/4.

Portanto, a fração imprópria 7/4 é igual ao número misto 1 3/4.

Exemplo 2:

Vamos converter a fração imprópria 13/5 em um número misto.

Passo 1: Divida o numerador (13) pelo denominador (5):

13 ÷ 5 = 2 com resto 3.

Passo 2: Escreva o número misto:

13/5 = 2 3/5.

Portanto, a fração imprópria 13/5 é igual ao número misto 2 3/5.

Conversão de Números Mistos em Frações Impróprias:

Para converter um número misto em uma fração imprópria, multiplique a parte inteira pelo denominador e adicione o numerador. O resultado se torna o novo numerador da fração, enquanto o denominador permanece o mesmo.

Exemplo 1:

Vamos converter o número misto 3 2/5 em uma fração imprópria.

Passo 1: Multiplique a parte inteira (3) pelo denominador (5) e adicione o numerador (2):

3 x 5 + 2 = 15 + 2 = 17.

Passo 2: Escreva a fração imprópria:

3 2/5 = 17/5.

Portanto, o número misto 3 2/5 é igual à fração imprópria 17/5.

Exemplo 2:

Vamos converter o número misto 4 3/8 em uma fração imprópria.

Passo 1: Multiplique a parte inteira (4) pelo denominador (8) e adicione o numerador (3):

4 x 8 + 3 = 32 + 3 = 35.

Passo 2: Escreva a fração imprópria:

4 3/8 = 35/8.

Portanto, o número misto 4 3/8 é igual à fração imprópria 35/8.

Uso de Frações Mistas em Situações do Cotidiano:

Frações mistas são comuns em diversas situações cotidianas, especialmente quando lidamos com quantidades que envolvem números inteiros e frações ao mesmo tempo. Alguns exemplos de uso de frações mistas no cotidiano são:

1. Representação de números mistos em medidas, como comprimentos, volumes ou pesos, onde temos partes inteiras e frações envolvidas.

2. Expressão de tempos, como horas e minutos, em formato misto (por exemplo, 2 horas e 30 minutos representados como 2 1/2 horas).

3. Na culinária, receitas podem usar frações mistas para quantidades de ingredientes.

4. Em contextos financeiros, como representar valores monetários com partes inteiras e frações (por exemplo, R$ 3,50 como 3 reais e 50 centavos).

Frações mistas são úteis quando se deseja expressar quantidades de maneira mais clara e intuitiva, especialmente em situações em que partes inteiras e frações coexistem para descrever as quantidades de forma mais precisa. A conversão entre frações impróprias e números mistos é uma habilidade essencial para lidar com essas situações no dia a dia.

PRATICANDO!!

1. Qual é a definição correta de fração?

   a) Um número inteiro.

   b) Um número decimal.

   c) Uma parte de um todo.

   d) Uma sequência de números.

2. O que é um numerador em uma fração?

   a) O número localizado acima da linha horizontal (barra).

   b) O número localizado abaixo da linha horizontal (barra).

   c) O resultado da divisão entre o numerador e o denominador.

   d) O resultado da multiplicação entre o numerador e o denominador.

3. Qual das seguintes frações é imprópria?

   a) 3/5

   b) 4/3

   c) 2/7

   d) 5/8

4. Qual é a fração equivalente a 3/4?

   a) 6/8

   b) 1/2

   c) 2/5

   d) 5/8

5. O que é o denominador em uma fração?

   a) O número localizado acima da linha horizontal (barra).

   b) O número localizado abaixo da linha horizontal (barra).

   c) O resultado da divisão entre o numerador e o denominador.

   d) O resultado da multiplicação entre o numerador e o denominador.

6. Qual é a forma mais reduzida da fração 10/20?

   a) 1/10

   b) 1/2

   c) 5/10

   d) 4/5

7. Qual é o resultado da divisão de 2/3 por 4 em suas forma mais simplificada?

   a) 8/12

   b) 2/12

   c) 1/12

   d) 1/6

8. O número 1,5 pode ser representado por qual fração?

   a) 1/5

   b) 1/2

   c) 3/2

   d) 2/3

9. Qual é o número misto equivalente à fração 7/3?

   a) 3 1/3

   b) 2 2/3

   c) 3 2/3

   d) 2 1/3

10. O número misto 5 2/7 pode ser representado por qual fração imprópria?

    a) 5/2

    b) 37/7

    c) 7/2

    d) 36/7

Respostas:

1. c) Uma parte de um todo.

2. a) O número localizado acima da linha horizontal (barra).

3. b) 4/3

4.  a) 6/8

5. b) O número localizado abaixo da linha horizontal (barra).

6.   b) 1/2

7.  d) 1/6

8. c) 3/2

9.    d) 2 1/3

10. b) 37/7