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Classificação de figuras geométricas planas
As figuras geométricas planas são formas bidimensionais que existem no mesmo plano, ou seja, possuem apenas comprimento e largura, mas não têm altura. Essas figuras podem ser classificadas de acordo com diferentes critérios. Vou listar algumas das classificações mais comuns:
Quanto aos lados:
- Triângulo: 3 lados.
- Quadrilátero: 4 lados.
- Pentágono: 5 lados.
- Hexágono: 6 lados.
- Heptágono: 7 lados.
- Octógono: 8 lados.
- E assim por diante, para figuras com mais lados.
Quanto aos ângulos:
- Retângulo: possui quatro ângulos retos (90 graus).
- Quadrado: possui quatro lados iguais e quatro ângulos retos.
- Triângulo equilátero: possui três lados iguais e três ângulos internos iguais (60 graus cada).
- Triângulo isósceles: possui dois lados iguais e dois ângulos internos iguais.
- Triângulo escaleno: possui três lados e três ângulos internos diferentes.
Quanto aos lados e ângulos:
- Círculo: não possui lados nem ângulos definidos, é formado por uma circunferência.
- Losango: possui quatro lados iguais, mas os ângulos não são necessariamente retos.
Quanto às propriedades especiais:
- Triângulo retângulo: possui um ângulo reto (90 graus).
- Triângulo isósceles retângulo: possui um ângulo reto e dois lados iguais.
- Trapézio: possui dois lados paralelos.
- Paralelogramo: possui lados opostos paralelos.
- Pentagono regular: possui 5 lados iguais e ângulos iguais.
- Hexágono regular: possui 6 lados iguais e ângulos iguais.
- E assim por diante, para formas com características especiais.
Quanto à simetria:
- Figuras simétricas: possuem uma linha ou eixo de simetria, dividindo a figura em duas metades que se refletem uma na outra.
Quanto ao número de vértices:
- Monógono: 1 vértice.
- Digono: 2 vértices.
- Triângulo: 3 vértices.
- Quadrilátero: 4 vértices.
- Pentágono: 5 vértices.
- Hexágono: 6 vértices.
- E assim por diante, para figuras com mais vértices.
Classificação de figuras geométricas não planas
As figuras geométricas não planas são aquelas que possuem dimensões adicionais à bidimensionalidade das figuras planas. Elas existem em três dimensões e têm comprimento, largura e altura. Vou listar algumas das principais figuras geométricas não planas:
Prismas:
- Cubo: possui 6 faces quadradas.
- Paralelepípedo retângulo: possui 6 faces retangulares.
- Prisma triangular: possui 3 faces retangulares e 2 faces triangulares.
- Prisma pentagonal: possui 5 faces retangulares e 2 faces pentagonais.
- Prisma hexagonal: possui 6 faces retangulares e 2 faces hexagonais.
- Etc.
Pirâmides:
- Pirâmide quadrangular (ou tetraedro): possui 4 faces triangulares.
- Pirâmide triangular: possui uma base triangular e faces triangulares que se encontram em um vértice comum.
- Pirâmide pentagonal: possui uma base pentagonal e faces triangulares que se encontram em um vértice comum.
- Pirâmide hexagonal: possui uma base hexagonal e faces triangulares que se encontram em um vértice comum.
- Etc.
Cilindro: possui duas faces circulares paralelas e uma superfície curva (lateral) que liga essas bases.
Cone: possui uma base circular e uma superfície curva (lateral) que converge para um vértice.
Esfera: não possui faces nem arestas, é uma forma arredondada tridimensional.
Toro: possui a forma de um "donut", com um buraco no meio, formado por um círculo maior e outro menor com um eixo em comum.
Polígonos e seus elementos
Polígonos são figuras geométricas planas formadas por segmentos de reta, chamados de lados, que se encontram apenas em seus pontos finais, chamados de vértices. Cada polígono tem características específicas, dependendo do número de lados que possui. Aqui estão os principais elementos dos polígonos:
Número de lados (arestas): É a quantidade de segmentos de reta que compõem o polígono.
Número de vértices: É a quantidade de pontos de encontro dos lados do polígono.
Comprimento dos lados: É o tamanho dos segmentos de reta que formam o perímetro do polígono.
Ângulos internos: São os ângulos formados entre dois lados consecutivos dentro do polígono.
Ângulo externo: É o ângulo formado entre um lado do polígono e a extensão do lado adjacente a ele.
Perímetro: É a soma dos comprimentos de todos os lados do polígono, representado geralmente por "P".
Apótema: É a distância entre o centro do polígono e um dos lados, medida perpendicularmente ao lado. Somente polígonos regulares possuem apótema.
Área: É a medida da região contida dentro dos limites do polígono, representada geralmente por "A". A fórmula para calcular a área varia dependendo do tipo de polígono.
Polígono convexo: É um polígono cujos ângulos internos são menores que 180 graus, e todas as diagonais estão contidas dentro do polígono.
Polígono côncavo: É um polígono que possui pelo menos um ângulo interno maior ou igual a 180 graus, ou cujas diagonais se estendem além dos limites do polígono.
Polígono regular: É um polígono cujos lados e ângulos internos são todos iguais.
Polígono irregular: É um polígono que não é regular, ou seja, possui lados e/ou ângulos internos de tamanhos diferentes.
Classificação de triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo com diferentes critérios, como comprimentos dos lados e medidas dos ângulos. Abaixo estão as principais classificações de triângulos:
Quanto aos lados:
- Triângulo Equilátero: Possui os três lados com comprimentos iguais. Todos os ângulos internos são iguais e medem 60 graus.
- Triângulo Isósceles: Possui dois lados com comprimentos iguais e um lado diferente. Os ângulos opostos aos lados iguais são iguais.
- Triângulo Escaleno: Possui os três lados com comprimentos diferentes. Todos os ângulos internos têm medidas diferentes.
Quanto aos ângulos:
- Triângulo Acutângulo: Possui todos os ângulos internos agudos, ou seja, menores que 90 graus.
- Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto, medindo 90 graus. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.
- Triângulo Obtusângulo: Possui um ângulo interno obtuso, ou seja, maior que 90 graus.
Quanto aos lados e ângulos:
- Triângulo Retângulo Isósceles: Possui um ângulo reto e dois lados iguais.
- Triângulo Retângulo Escaleno: Possui um ângulo reto e os três lados com comprimentos diferentes.
- Triângulo Isósceles Acutângulo: Possui dois ângulos agudos iguais e dois lados iguais.
- Triângulo Isósceles Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso e dois lados iguais.
- Triângulo Equilátero Acutângulo: Possui os três ângulos internos agudos e os três lados iguais.
- Triângulo Equilátero Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso e os três lados iguais.
Lembrando que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus. Além disso, um triângulo é uma figura plana de três lados e três ângulos. As classificações acima ajudam a identificar as características específicas de cada triângulo com base em suas medidas e propriedades geométricas.
Classificação de quadriláteros
Os quadriláteros são figuras geométricas planas que possuem quatro lados e quatro ângulos. Eles podem ser classificados de acordo com as propriedades dos seus lados e ângulos. Abaixo estão as principais classificações de quadriláteros:
Quanto aos lados:
- Quadrado: Possui quatro lados iguais e quatro ângulos retos (90 graus).
- Retângulo: Possui quatro ângulos retos, mas nem todos os lados são iguais.
- Losango: Possui quatro lados iguais, mas os ângulos não são necessariamente retos.
- Trapézio: Possui dois lados paralelos (um par de lados paralelos).
- Paralelogramo: Possui lados opostos paralelos (dois pares de lados paralelos).
Quanto aos ângulos:
- Quadrilátero Retângulo: Possui quatro ângulos retos (90 graus).
- Quadrilátero Oblíquo: Possui todos os ângulos não retos, ou seja, ângulos agudos ou obtusos.
Quanto aos lados e ângulos:
- Quadrado: É um quadrilátero regular, pois possui lados iguais e ângulos retos.
- Retângulo: Possui ângulos retos, mas nem todos os lados são iguais.
- Losango: Possui lados iguais, mas nem todos os ângulos são retos.
- Trapézio Retângulo: É um trapézio com um ângulo reto.
- Paralelogramo Retângulo: É um paralelogramo com um ângulo reto.
- Trapézio Isósceles: É um trapézio com dois lados não paralelos iguais.
- Paralelogramo Isósceles: É um paralelogramo com dois lados opostos iguais.
- Quadrilátero Côncavo: Possui pelo menos um ângulo interno maior ou igual a 180 graus.
Quanto à diagonal:
- Quadrilátero Convexo: Possui todas as diagonais dentro do seu perímetro.
- Quadrilátero Côncavo: Possui ao menos uma diagonal que se estende para fora do seu perímetro.
Poliedros, classificações e seus elementos
Poliedros são figuras geométricas tridimensionais que possuem faces planas, arestas (segmentos de reta que conectam as faces) e vértices (pontos onde se encontram as arestas). Os poliedros são classificados de acordo com suas características e elementos. Abaixo estão as principais classificações de poliedros e seus elementos:
Quanto ao número de faces:
- Poliedros convexos: Todos os ângulos internos são menores que 180 graus. Todas as faces ficam "para fora" do poliedro.
- Poliedros côncavos: Pelo menos uma face possui um ângulo interno maior ou igual a 180 graus. Algumas faces ficam "para dentro" do poliedro.
Quanto ao tipo de faces:
- Poliedros regulares: Todas as faces são congruentes (iguais) e todos os ângulos entre as faces são iguais.
- Poliedros irregulares: As faces não são necessariamente congruentes e os ângulos entre as faces podem variar.
Quanto ao número de vértices:
- Poliedro triangular: Possui apenas faces triangulares.
- Poliedro quadrangular: Possui apenas faces quadrangulares.
Quanto ao tipo de arestas:
- Poliedros uniformes: Possuem faces regulares e arestas congruentes.
- Poliedros não uniformes: Não possuem todas as faces e arestas regulares.
Elementos dos poliedros:
- Faces: São as superfícies planas do poliedro. Cada face é um polígono.
- Arestas: São os segmentos de reta que conectam as faces entre si.
- Vértices: São os pontos onde se encontram as arestas.
Alguns exemplos de poliedros comuns são:
- Cubo: Poliedro regular com 6 faces quadradas.
- Tetraedro: Poliedro regular com 4 faces triangulares.
- Octaedro: Poliedro regular com 8 faces triangulares.
- Dodecaedro: Poliedro regular com 12 faces pentagonais.
- Icosaedro: Poliedro regular com 20 faces triangulares.
- Pirâmide: Poliedro com uma face base e faces triangulares inclinadas.
- Prisma: Poliedro com duas bases congruentes conectadas por faces retangulares ou paralelogramos.
Relação de Euler
A relação de Euler é uma fórmula que relaciona o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo. Essa fórmula é assim chamada em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, que a demonstrou pela primeira vez em 1751.
Para um poliedro convexo, a relação de Euler é dada pela seguinte fórmula:
V - A + F = 2
Onde:
- V é o número de vértices do poliedro.
- A é o número de arestas do poliedro.
- F é o número de faces do poliedro.
Essa fórmula é notável porque é uma relação constante para todos os poliedros convexos, independentemente de suas formas ou tamanhos. Isso significa que, se você conhece o número de vértices, o número de arestas ou o número de faces de um poliedro convexo, pode determinar o valor restante usando a relação de Euler.
Essa relação é especialmente útil em problemas de geometria e topologia, pois permite estabelecer uma conexão entre esses três elementos fundamentais de um poliedro convexo. Além disso, a relação de Euler é aplicável em outros contextos matemáticos, como teoria dos grafos e teoria dos poliedros.
Não poliedros
Peço desculpas pelo equívoco anterior. A relação de Euler também é aplicável a superfícies não poliédricas, como superfícies planas e curvas.
Para qualquer superfície fechada, sejam elas poliedros ou não, a relação de Euler é dada por:
V - A + F = 2
Onde:
- V é o número de vértices (pontos de encontro de arestas ou curvas).
- A é o número de arestas (segmentos de reta ou curvas que conectam vértices).
- F é o número de faces (regiões limitadas pelas arestas ou curvas).
Essa fórmula é uma propriedade topológica e pode ser aplicada a várias superfícies, independentemente de sua forma ou curvatura. Vale ressaltar que, para aplicar a relação de Euler a uma superfície curva, é necessário que a superfície seja topologicamente equivalente a uma superfície fechada, o que significa que ela não possui buracos, furos ou lacunas.
A relação de Euler é uma ferramenta importante em várias áreas da matemática e ciências, como topologia, geometria diferencial, teoria dos grafos e estudos de superfícies complexas. Ela descreve uma relação fundamental entre os elementos de uma superfície e é frequentemente usada para deduzir informações sobre a estrutura e a conectividade dessas superfícies.
VAMOS EXERCITAR O QUE APRENDEU ?
1. Qual das seguintes figuras geométricas tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos?
a) Triângulo
b) Losango
c) Quadrado
d) Pentágono
e) Hexágono
2. Qual é o nome de um poliedro com seis faces triangulares?
a) Octaedro
b) Tetraedro
c) Icosaedro
d) Dodecaedro
e) Pirâmide
3. Qual é a relação de Euler para um poliedro convexo?
a) V - A + F = 0
b) V + A - F = 2
c) V + A + F = 2
d) V - A + F = 2
4. Quantas arestas possui um cubo?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
5. Um poliedro convexo possui 10 vértices e 15 faces. Quantas arestas ele possui?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 23
e) 25
6. Qual é o nome de um poliedro regular com 12 faces pentagonais?
a) Tetraedro
b) Dodecaedro
c) Hexaedro
d) Icosaedro
7. Qual das seguintes figuras é um exemplo de poliedro não convexo?
a) Cubo
b) Tetraedro
c) Pirâmide
d) Estrela de cinco pontas
8. Qual é a soma dos ângulos internos de um triângulo?
a) 90 graus
b) 120 graus
c) 180 graus
d) 360 graus
9. Quantas faces possui um octaedro?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
10. Um poliedro tem 8 vértices e 12 faces. Quantas arestas ele possui?
a) 4
b) 18
c) 12
d) 16
Respostas:
1. c) Quadrado
2. b) Tetraedro
3. d) V - A + F = 2
4. d) 12
5. d) 23
6. b) Dodecaedro
7. d) Estrela de cinco pontas
8. c) 180 graus
9. c) 8
10. b) 18
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