Funções 

Noção de função 

Em matemática, uma função é uma relação ou correspondência entre dois conjuntos, geralmente chamados de domínio e contra-domínio, que associa a cada elemento do domínio exatamente um elemento do contra-domínio. Em outras palavras, uma função é uma regra que atribui um valor único a cada valor de entrada.

Uma função é geralmente denotada por uma notação como f(x) ou g(x), em que "x" representa o valor de entrada ou o elemento do domínio, e f(x) ou g(x) representa o valor resultante ou o elemento correspondente no contra-domínio.

Por exemplo, considere a função f(x) = 2x. Nesta função, para cada valor de "x" que você inserir, você obterá o dobro desse valor como resultado. Se você colocar x = 3 na função, terá f(3) = 2 * 3 = 6.

As funções são fundamentais em muitas áreas da matemática e têm uma ampla gama de aplicações em ciência, engenharia, economia e muitos outros campos. Elas são usadas para modelar relacionamentos, fazer previsões, resolver problemas e muito mais. Existem diferentes tipos de funções, incluindo funções lineares, quadráticas, exponenciais, trigonométricas e muitas outras, cada uma com suas próprias características e propriedades.

Lei de formação de uma função 

A lei de formação de uma função descreve como os elementos do domínio se relacionam com os elementos do contra-domínio por meio de uma regra específica. Essa regra ou padrão é o que define a função e permite que ela atribua um valor único a cada elemento do domínio.

A lei de formação pode ser expressa de diferentes maneiras, dependendo do tipo de função e do contexto em que ela é utilizada. Algumas formas comuns de expressar a lei de formação de uma função incluem:

Fórmula matemática: Em muitos casos, uma função é definida por uma fórmula matemática que relaciona a variável de entrada (x) com a variável de saída (f(x)). Por exemplo, a função quadrática f(x) = x^2 tem a seguinte lei de formação: "O quadrado do valor de x é o valor de f(x)."

Tabela: Em vez de uma fórmula, a lei de formação pode ser apresentada por meio de uma tabela que mostra os pares de valores correspondentes entre o domínio e o contra-domínio. Cada valor de "x" na tabela é associado a um valor específico de "f(x)".

Descrição verbal: Algumas funções podem ser descritas verbalmente sem a necessidade de uma fórmula matemática ou tabela. Por exemplo, "f(x) é igual ao triplo do valor de x adicionado a 5".

Gráfico: Em alguns casos, a lei de formação pode ser visualmente representada por meio de um gráfico, onde o eixo "x" representa o domínio e o eixo "y" representa o contra-domínio. O gráfico mostra como os pontos (x, f(x)) estão relacionados.

É importante notar que nem toda relação entre dois conjuntos é uma função. Para ser considerada uma função, a relação deve satisfazer a propriedade de que cada valor do domínio tenha uma única imagem no contra-domínio, ou seja, não pode haver ambiguidade na atribuição dos valores.

Por exemplo, a relação que associa cada pessoa ao seu mês de nascimento é uma função, pois cada pessoa tem apenas um mês de nascimento. No entanto, a relação que associa cada pessoa ao seu time de futebol favorito não é uma função, pois uma pessoa pode ter diferentes times de futebol favoritos ao longo do tempo.

Valor de uma função 

O valor de uma função se refere ao resultado obtido quando um valor específico é inserido na função como entrada (valor de "x") e o cálculo é realizado de acordo com a lei de formação da função. Esse resultado é a imagem ou valor da função associado ao valor de entrada dado.

Para representar o valor de uma função, usamos a notação f(x), onde "f" é o nome da função e "x" é o valor de entrada (também chamado de argumento). O resultado da função para o valor de "x" é denotado por f(x).

Por exemplo, se temos a função f(x) = 2x + 3 e queremos encontrar o valor de f(5), basta substituir "x" por 5 na expressão da função:

f(5) = 2 * 5 + 3

f(5) = 10 + 3

f(5) = 13

Portanto, o valor da função f(x) para x = 5 é 13.

Da mesma forma, podemos calcular o valor de f(x) para outros valores de "x" seguindo o mesmo procedimento. Cada valor de "x" resultará em um valor correspondente de f(x), conforme determinado pela lei de formação da função.

É importante notar que nem toda função é definida para todos os valores de "x". Algumas funções têm restrições em seu domínio, que são os valores válidos de entrada para a função. Portanto, ao calcular o valor de uma função, devemos garantir que o valor de "x" esteja dentro do domínio da função para que o cálculo seja válido. Caso contrário, a função pode não estar definida para esse valor específico de "x".

Representação gráfica de uma função 

A representação gráfica de uma função é uma maneira visual de mostrar como os valores do domínio se relacionam com os valores do contra-domínio de acordo com a lei de formação da função. O gráfico de uma função é um conjunto de pontos no plano cartesiano, onde o eixo "x" representa o domínio e o eixo "y" representa o contra-domínio.

Para desenhar o gráfico de uma função, geralmente seguimos estes passos:

1. Identificar a lei de formação da função: Primeiro, precisamos saber qual é a regra ou fórmula que define a função, por exemplo, f(x) = 2x + 3.

2. Escolher valores para o domínio: Selecionamos alguns valores de "x" que abrangem uma faixa significativa do domínio da função. Esses valores são utilizados para calcular os valores correspondentes de f(x).

3. Calcular os valores de f(x): Usando os valores de "x" escolhidos, aplicamos a lei de formação da função para encontrar os valores correspondentes de f(x). Por exemplo, se x = 0, f(0) = 2 * 0 + 3 = 3.

4. Plotar os pontos no gráfico: Com os pares de valores (x, f(x)), plotamos os pontos no plano cartesiano, em que o valor de "x" é representado no eixo horizontal (x-axis) e o valor de f(x) é representado no eixo vertical (y-axis).

5. Traçar a curva da função: Em seguida, conectamos os pontos no gráfico com uma curva suave que representa a função em todo o seu domínio.

Por exemplo, consideremos a função f(x) = 2x + 3. Escolhemos alguns valores para "x":

x = -2, -1, 0, 1, 2

Agora, calculamos os valores correspondentes de f(x):

f(-2) = 2 * (-2) + 3 = -1

f(-1) = 2 * (-1) + 3 = 1

f(0) = 2 * 0 + 3 = 3

f(1) = 2 * 1 + 3 = 5

f(2) = 2 * 2 + 3 = 7

Agora, plotamos esses pontos no gráfico e traçamos uma curva suave que passa por eles:

```

   ^

7  +                 *

   |                *

6  +               *

   |              *

5  +             *    

   |            *  

4  +           *

   |          *

3  +         *  

   |        *  

2  +       *  

   |      *  

1  +     *  

   |    *  

0  +   *  

   |  *  

-1 + *  

   |*  

   +----------------------->

      -2  -1  0  1  2     x

```

Este é o gráfico da função f(x) = 2x + 3, que é uma reta inclinada para cima. Cada ponto no gráfico corresponde a um valor de "x" e o valor de f(x) associado, mostrando a relação entre os dois conjuntos.

Função afim

Uma função afim, também conhecida como função linear, é um tipo específico de função matemática que possui uma lei de formação na forma f(x) = mx + b, onde "m" e "b" são constantes e "x" é a variável de entrada (domínio).

Nessa forma, "m" representa o coeficiente angular da função e "b" é o coeficiente linear ou o valor de f(x) quando x = 0 (o ponto onde a função intercepta o eixo y).

O gráfico de uma função afim é uma linha reta, pois a relação entre os valores de "x" e "f(x)" é linear. O coeficiente "m" determina a inclinação (ou declive) da reta, enquanto o coeficiente "b" determina o ponto onde a reta intersecta o eixo y.

Além disso, o coeficiente "m" também pode ser interpretado como a taxa de variação da função. Se "m" for positivo, a função terá uma inclinação positiva, ou seja, a reta subirá da esquerda para a direita. Se "m" for negativo, a função terá uma inclinação negativa, e a reta descerá da esquerda para a direita.

Exemplos de funções afim:

1. f(x) = 2x + 3: Nesse caso, "m" é 2 (indicando que a inclinação é positiva) e "b" é 3 (o ponto de intersecção com o eixo y é o ponto (0, 3)).

2. g(x) = -1.5x + 2: Nessa função, "m" é -1.5 (indicando uma inclinação negativa) e "b" é 2.

3. h(x) = 4x - 1: Aqui, "m" é 4 (indicando uma inclinação positiva) e "b" é -1.

O gráfico de uma função afim é sempre uma linha reta, e sua inclinação e interceptação podem ser facilmente identificadas a partir dos coeficientes "m" e "b" na lei de formação.

Casos de função afim 

As funções afins, também conhecidas como funções lineares, são um tipo específico de função matemática com uma lei de formação na forma f(x) = mx + b, onde "m" e "b" são constantes e "x" é a variável de entrada (domínio). Vamos explorar alguns casos comuns de funções afins:

Função Constante:

   Se "m" for igual a zero (m = 0), a função afim se reduz a f(x) = b, onde "b" é uma constante. Nesse caso, a reta é horizontal e paralela ao eixo x, e o valor de "f(x)" é sempre igual a "b". É uma função constante, pois não importa qual seja o valor de "x", o valor de "f(x)" permanecerá inalterado.

   Exemplo: f(x) = 4 (b = 4)

   Gráfico: Uma reta horizontal passando pela marca y = 4 no eixo y.

Função com Inclinação Positiva:

   Se "m" for um número positivo diferente de zero, a função terá uma inclinação positiva. Isso significa que a reta subirá da esquerda para a direita no gráfico. O valor de "b" determinará o ponto em que a reta intersecta o eixo y.

   Exemplo: f(x) = 2x + 3 (m = 2, b = 3)

   Gráfico: Uma reta inclinada positivamente, que cruza o eixo y no ponto (0, 3).

Função com Inclinação Negativa:

   Se "m" for um número negativo diferente de zero, a função terá uma inclinação negativa. Isso significa que a reta descerá da esquerda para a direita no gráfico. O valor de "b" determinará o ponto em que a reta intersecta o eixo y.

   Exemplo: f(x) = -3x + 5 (m = -3, b = 5)

   Gráfico: Uma reta inclinada negativamente, que cruza o eixo y no ponto (0, 5).

Função Identidade:

   Uma função afim é chamada de função identidade quando "m" é igual a 1 e "b" é igual a 0. A função identidade é representada por f(x) = x. Essa função tem uma reta diagonal, com uma inclinação de 45 graus, passando pelo ponto (0, 0).

   Exemplo: f(x) = x

   Gráfico: Uma reta inclinada de 45 graus que passa pelo ponto (0, 0).

Esses são apenas alguns casos comuns de funções afins. Em geral, qualquer função que possa ser expressa na forma f(x) = mx + b, onde "m" e "b" são constantes, é uma função afim. Elas têm amplas aplicações na matemática, ciências e outras áreas, devido à sua simplicidade e facilidade de análise.

Gráfico de uma função afim 

O gráfico de uma função afim, também conhecida como função linear, é sempre uma linha reta no plano cartesiano. A forma geral da função afim é f(x) = mx + b, onde "m" é o coeficiente angular (a inclinação da reta) e "b" é o coeficiente linear (a interseção com o eixo y quando x = 0).

Para desenhar o gráfico de uma função afim, siga estes passos:

1. Identifique os coeficientes "m" e "b" da função afim f(x) = mx + b.

2. Encontre dois pontos no gráfico da função:

   - Escolha um valor de "x" e calcule o valor correspondente de "f(x)" usando a lei de formação da função (mx + b).

   - Faça o mesmo para um segundo valor de "x" diferente do primeiro.

3. Trace uma linha reta que passe pelos dois pontos encontrados. Essa reta representa o gráfico da função afim.

Se "m" for positivo, a reta subirá da esquerda para a direita (inclinação positiva). Se "m" for negativo, a reta descerá da esquerda para a direita (inclinação negativa). Se "m" for zero, a reta será horizontal (função constante) e paralela ao eixo x.

Vamos usar um exemplo para ilustrar como traçar o gráfico de uma função afim:

Exemplo: f(x) = 2x + 3

1. Identifique os coeficientes: m = 2 (coeficiente angular) e b = 3 (coeficiente linear).

2. Escolha dois valores de "x" e calcule os valores correspondentes de "f(x)":

   - Para x = 0:

     f(0) = 2 * 0 + 3 = 3

   - Para x = 2:

     f(2) = 2 * 2 + 3 = 7

3. Trace a reta que passa pelos pontos (0, 3) e (2, 7):

```

   ^

7  +         *     (2, 7)

   |        *

6  +       *

   |      * 

5  +     *

   |    *

4  +   *  

   |  *   

3  + *    (0, 3)

   |*

   +----------------------->

      0  1  2  3  4  5  6  x

```

Este é o gráfico da função afim f(x) = 2x + 3. A reta representa a relação linear entre "x" e "f(x)" de acordo com a lei de formação da função.

Zero de uma função afim 

O zero de uma função afim, também conhecido como raiz da função ou ponto onde a função se anula, é o valor de "x" para o qual o valor de "f(x)" é igual a zero. Em outras palavras, é o ponto em que a reta da função afim cruza o eixo x (ou eixo das abscissas) no plano cartesiano.

Para encontrar o zero de uma função afim f(x) = mx + b, igualamos "f(x)" a zero e resolvemos para "x":

0 = mx + b

Agora, isolamos o "x":

mx = -b

Dividindo ambos os lados por "m" (assumindo que "m" é diferente de zero):

x = -b / m

Portanto, o zero da função afim é dado por x = -b / m.

Vale ressaltar que a função afim tem sempre um único zero, a menos que "m" seja igual a zero (m = 0), nesse caso, a função é constante e não possui raiz, a menos que "b" também seja igual a zero.

Vamos usar um exemplo para ilustrar como encontrar o zero de uma função afim:

Exemplo: f(x) = 3x - 6

Neste caso, m = 3 e b = -6.

Para encontrar o zero:

x = -(-6) / 3

x = 6 / 3

x = 2

Portanto, o zero da função afim f(x) = 3x - 6 é x = 2. Isso significa que a reta da função cruza o eixo x no ponto (2, 0).

Variação de uma função afim 

A variação de uma função afim refere-se à mudança ou diferença nos valores de "f(x)" quando o valor de "x" varia. Em outras palavras, é a diferença entre os valores de "f(x)" para dois pontos diferentes do domínio da função.

Para uma função afim f(x) = mx + b, a variação é determinada pelo coeficiente angular "m". O coeficiente "m" representa a taxa de variação da função, ou seja, o quanto "f(x)" aumenta ou diminui para cada unidade de variação em "x".

Se "m" for positivo, isso indica uma taxa de variação positiva. Para cada unidade que "x" aumenta, "f(x)" aumenta em uma quantidade igual a "m". Por exemplo, se "m" = 3, para cada aumento de 1 unidade em "x", "f(x)" aumenta em 3 unidades.

Se "m" for negativo, isso indica uma taxa de variação negativa. Para cada unidade que "x" aumenta, "f(x)" diminui em uma quantidade igual a |m| (o valor absoluto de "m"). Por exemplo, se "m" = -2, para cada aumento de 1 unidade em "x", "f(x)" diminui em 2 unidades.

Se "m" for igual a zero (m = 0), a função é constante, e não há variação com base em "x". Nesse caso, a função tem uma inclinação horizontal e é paralela ao eixo x.

Vamos usar um exemplo para ilustrar a variação de uma função afim:

Exemplo: f(x) = 2x + 3

Neste caso, m = 2.

Isso significa que para cada unidade que "x" aumenta, "f(x)" aumenta em 2 unidades. Portanto, a variação da função afim é de 2 unidades para cada unidade de variação em "x". Se "x" aumentar em 1 unidade, "f(x)" aumentará em 2 unidades.

Em termos matemáticos, podemos calcular a variação entre dois pontos diferentes, (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)), da seguinte maneira:

Variação = f(x2) - f(x1) = (2x2 + 3) - (2x1 + 3) = 2(x2 - x1)

Onde (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) são dois pontos diferentes no domínio da função. A variação é igual a 2 vezes a diferença entre os valores de "x", conforme determinado pelo coeficiente angular "m".

Estudo do sinal da função afim 

O estudo do sinal de uma função afim refere-se à determinação dos intervalos do domínio em que a função é positiva, negativa ou igual a zero. Isso envolve analisar a inclinação da reta (determinada pelo coeficiente angular "m") e o ponto onde a reta intersecta o eixo y (determinado pelo coeficiente linear "b").

Vamos considerar a função afim f(x) = mx + b:

Se "m" for positivo:

   Quando o coeficiente angular "m" é positivo, a reta tem inclinação positiva, subindo da esquerda para a direita no gráfico. Isso significa que a função será positiva em todo o domínio, exceto no ponto em que a reta cruza o eixo y.

   - Se "b" for positivo, a reta cruzará o eixo y acima da origem e, portanto, a função será positiva para todos os valores de "x".

   - Se "b" for negativo, a reta cruzará o eixo y abaixo da origem e, portanto, a função será negativa para todos os valores de "x".

Se "m" for negativo:

   Quando o coeficiente angular "m" é negativo, a reta tem inclinação negativa, descendo da esquerda para a direita no gráfico. Isso significa que a função será negativa em todo o domínio, exceto no ponto em que a reta cruza o eixo y.

   - Se "b" for positivo, a reta cruzará o eixo y acima da origem e, portanto, a função será negativa para todos os valores de "x".

   - Se "b" for negativo, a reta cruzará o eixo y abaixo da origem e, portanto, a função será positiva para todos os valores de "x".

3. Se "m" for igual a zero (m = 0):

   Nesse caso, a função é constante (reta horizontal) e não há variação com base em "x". A função será positiva, negativa ou zero, dependendo apenas do valor de "b".

Resumindo:

- Se "m" é positivo, a função é positiva para todos os valores de "x", exceto em um ponto específico (a interseção com o eixo y).

- Se "m" é negativo, a função é negativa para todos os valores de "x", exceto em um ponto específico (a interseção com o eixo y).

- Se "m" é igual a zero (m = 0), a função é constante e seu sinal depende apenas do valor de "b".

Vale lembrar que o sinal da função afim pode mudar nos pontos em que a reta cruza o eixo x, ou seja, nos zeros da função (f(x) = 0). O zero da função afim é o valor de "x" que torna f(x) igual a zero e pode ser encontrado usando a equação f(x) = mx + b e resolvendo para "x" quando f(x) = 0.

Função linear e proporcionalidade 

Uma função linear é um tipo de função afim cuja lei de formação é dada por f(x) = mx + b, onde "m" e "b" são constantes e "x" é a variável de entrada (domínio). Essa função representa uma reta no plano cartesiano, e sua representação gráfica é uma linha reta.

A proporcionalidade é uma relação matemática que descreve uma correspondência direta entre duas quantidades. Duas variáveis são consideradas proporcionais se uma delas for igual ao produto de um número constante (a constante de proporcionalidade) pelo valor da outra variável.

A relação de proporcionalidade pode ser representada matematicamente por uma função linear, em que "m" (o coeficiente angular) é igual à constante de proporcionalidade e "b" (o coeficiente linear) é igual a zero. Portanto, uma função linear também é uma função proporcional quando o coeficiente linear é zero.

Exemplo de função linear e proporcionalidade:

Suponha que temos uma relação de proporcionalidade direta entre a variável "x" e a variável "y", onde "y" é o dobro de "x". Matematicamente, podemos escrever essa relação como y = 2x.

Podemos expressar essa relação em termos de função linear, para isso, basta escrever a equação na forma f(x) = mx + b:

f(x) = 2x + 0

Aqui, "m" é o coeficiente angular (2) e "b" é o coeficiente linear (0). Observe que "b" é igual a zero, o que significa que essa função é uma função linear proporcional.

Gráfico da função linear proporcional:

```

   ^

   |        *

   |       *

   |      *

   |     *

   |    *

   |   *

   |  *

   | *

   |*

   +----------------------->

   0  1  2  3  4  5  6  x

```

O gráfico da função linear proporcional é uma reta que passa pela origem (ponto (0, 0)), com inclinação positiva igual a 2. Isso demonstra a relação de proporcionalidade entre "x" e "y" conforme descrito pela equação y = 2x. Cada aumento de uma unidade em "x" resulta em um aumento de duas unidades em "y", evidenciando a proporcionalidade direta entre as variáveis.

EXERCITE!!

1. Qual é a forma geral da função afim?

   a) f(x) = mx + b

   b) f(x) = x^2

   c) f(x) = 2x - 3

   d) f(x) = sin(x)

2. O que representa o coeficiente angular "m" em uma função afim?

   a) A interseção da reta com o eixo x.

   b) A taxa de variação da função.

   c) O ponto onde a reta intersecta o eixo y.

   d) O valor da função quando x = 0.

3. Qual é o gráfico de uma função afim com a lei de formação f(x) = -2x + 4?

   a) Uma reta inclinada positivamente.

   b) Uma reta inclinada negativamente.

   c) Uma reta horizontal.

   d) Uma reta vertical.

4. Uma função afim é proporcional quando:

   a) O coeficiente angular "m" é igual a 1.

   b) O coeficiente linear "b" é igual a zero.

   c) O coeficiente angular "m" é igual ao coeficiente linear "b".

   d) O coeficiente angular "m" é igual a zero.

5. Qual é o zero da função afim f(x) = 3x - 6?

   a) x = -6

   b) x = 3

   c) x = 2

   d) x = 6

6. O que representa o coeficiente linear "b" em uma função afim?

   a) A taxa de variação da função.

   b) O valor da função quando x = 0.

   c) A inclinação da reta no gráfico.

   d) O ponto onde a reta intersecta o eixo x.

7. Qual é o gráfico de uma função afim com a lei de formação f(x) = 5?

   a) Uma reta inclinada positivamente.

   b) Uma reta inclinada negativamente.

   c) Uma reta horizontal.

   d) Uma reta vertical.

8. Se a função afim f(x) = -2x + 3 é proporcional, qual é o valor da constante de proporcionalidade?

   a) 3

   b) -2

   c) 2

   d) -3

9. O que é o valor de "f(4)" para a função afim f(x) = 2x - 1?

   a) 1

   b) 3

   c) 6

   d) 7

10. Qual é a variação da função afim f(x) = 4x - 2 entre os pontos (1, f(1)) e (3, f(3))?

    a) 2

    b) 6

    c) 8

    d) 10

Respostas:

1. a) f(x) = mx + b

2. b) A taxa de variação da função.

3. b) Uma reta inclinada negativamente.

4. d) O coeficiente angular "m" é igual a zero. 

5. b) x = 3

6. b) O valor da função quando x = 0.

7. c) Uma reta horizontal.

8. c) 2

9. c) 6

10. c) 8