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Múltiplos
Um número é múltiplo de outro quando é resultado da multiplicação desse outro número por um número natural.
Exemplo:
Os múltiplos de 5 são: 0, 5, 10, 15, 20, 25...
Divisores
Um número é divisor de outro quando a divisão entre eles é exata, ou seja, o resto da divisão é zero.
Exemplo:
Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Critérios de Divisibilidade
São regras práticas para verificar se um número é divisível por outro sem precisar efetuar a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 se o último algarismo for par (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 se o último algarismo for 0.
Divisibilidade por 100: Um número é divisível por 100 se os dois últimos algarismos forem 00.
Divisibilidade por 1000: Um número é divisível por 1000 se os três últimos algarismos forem 000.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8.
Números Primos e Números Compostos
Número primo: É um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.
Número composto: É um número natural maior que 1 que possui mais de dois divisores.
Decomposição em Fatores Primos
Todo número composto pode ser escrito como um produto de fatores primos. Essa decomposição é única, a menos da ordem dos fatores.
Exemplo:
A decomposição em fatores primos de 36 é: 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²
Aprofunde com exemplos
Múltiplos
Exemplo 1: Quais são os múltiplos de 7 entre 0 e 50?
- Resolução: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49
- Os múltiplos de 7 entre 0 e 50 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49.
Problematização: Se um número é múltiplo de 6, quais são os três primeiros múltiplos de 6 após 30?
- Resolução: 36 (6 x 6), 42 (6 x 7), 48 (6 x 8)
- Os três primeiros múltiplos de 6 após 30 são 36, 42, 48.
Divisores
Exemplo 1: Quais são os divisores de 18?
- Resolução: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Problematização: Determine todos os divisores de 24.
- Resolução: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Os divisores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Critérios de Divisibilidade
Exemplo 1: Verifique se o número 324 é divisível por 2, 3, 4, 5 e 6.
- Resolução:
- Divisibilidade por 2: Sim, pois termina em 4 (número par).
- Divisibilidade por 3: Sim, pois 3 + 2 + 4 = 9 e 9 é divisível por 3.
- Divisibilidade por 4: Sim, pois os dois últimos dígitos (24) formam um número divisível por 4.
- Divisibilidade por 5: Não, pois não termina em 0 ou 5.
- Divisibilidade por 6: Sim, pois é divisível por 2 e 3.
- O número 324 é divisível por 2, 3, 4 e 6, mas não por 5.
Problematização: Determine se o número 540 é divisível por 2, 3, 5, 9 e 10.
- Resolução:
- Divisibilidade por 2: Sim, pois termina em 0.
- Divisibilidade por 3: Sim, pois 5 + 4 + 0 = 9 e 9 é divisível por 3.
- Divisibilidade por 5: Sim, pois termina em 0.
- Divisibilidade por 9: Sim, pois 5 + 4 + 0 = 9 e 9 é divisível por 9.
- Divisibilidade por 10: Sim, pois termina em 0.
- O número 540 é divisível por 2, 3, 5, 9 e 10.
Números Primos e Números Compostos
Exemplo 1: Determine se o número 17 é primo.
- Resolução: O número 17 tem apenas dois divisores, 1 e 17.
- O número 17 é primo.
Problematização: Verifique se o número 45 é primo ou composto.
- Resolução: O número 45 tem mais de dois divisores (1, 3, 5, 9, 15, 45).
- O número 45 é composto.
Decomposição em Fatores Primos
Exemplo 1: Encontre a decomposição em fatores primos do número 60.
- Resolução:
- 60 ÷ 2 = 30
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
- A decomposição em fatores primos de 60 é 2 x 2 x 3 x 5, ou 2² x 3 x 5.
Problematização: Encontre a decomposição em fatores primos do número 84.
- Resolução:
- 84 ÷ 2 = 42
- 42 ÷ 2 = 21
- 21 ÷ 3 = 7
- 7 ÷ 7 = 1
- A decomposição em fatores primos de 84 é 2 x 2 x 3 x 7, ou 2² x 3 x 7.
PRATIQUE NO SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:
1. Quais são os múltiplos de 9 entre 0 e 50? Explique como você encontrou esses múltiplos.
2. Determine todos os divisores de 36 e explique o processo utilizado para encontrá-los.
3. Qual dos números abaixo é divisível por 4?
a) 123
b) 256
c) 135
d) 462
4. Verifique se o número 29 é primo ou composto. Justifique sua resposta.
5. Qual é a decomposição em fatores primos do número 90?
a) 2 x 3 x 5
b) 2² x 5
c) 2 x 3² x 5
d) 3² x 5
6. Determine se o número 630 é divisível por 2, 3, 5, e 9. Explique cada passo.
7. Qual é o menor múltiplo de 8 que é maior que 40?
a) 48
b) 56
c) 64
d) 72
8. Quais são os divisores de 48? Explique como você chegou ao resultado.
9. Qual dos números a seguir é primo?
a) 12
b) 15
c) 17
d) 20
10. Encontre a decomposição em fatores primos do número 72 e explique cada etapa do processo.
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