Os Números Racionais 

Números Racionais

Os números racionais são todos os números que podem ser representados na forma de uma fração a/b, onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero. O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q.

Exemplos de números racionais:

• 1/2

• -3/4

• 0,75 (que pode ser escrito como 3/4)

• -2 (que pode ser escrito como -2/1)

Módulo de um Número Racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional é a sua distância até o zero na reta numérica. É representado por duas barras verticais.

Exemplos:

• |3/4| = 3/4

• |-5/2| = 5/2

Comparação de Números Racionais

Para comparar números racionais, podemos utilizar os seguintes métodos:

1. Comparando com o mesmo denominador: Se duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador.

2. Exemplo: 3/5 > 2/5

3. Comparando com o mesmo numerador: Se duas frações têm o mesmo numerador, a maior é aquela que tem o menor denominador.

4. Exemplo: 1/3 < 1/2

5. Transformando em frações equivalentes com o mesmo denominador: Encontramos frações equivalentes às frações originais, com o mesmo denominador, e comparamos os numeradores.

6. Exemplo: Para comparar 2/3 e 3/4, podemos transformá-las em frações com denominador 12:

   • 2/3 = 8/12

   • 3/4 = 9/12

7. Como 9/12 > 8/12, concluímos que 3/4 > 2/3.

8. Comparando na forma decimal: Transformamos as frações em números decimais e comparamos os valores.

9. Exemplo: Para comparar 5/8 e 2/3, podemos transformá-las em números decimais:

   • 5/8 = 0,625

   • 2/3 = 0,666...

10. Como 0,666... > 0,625, concluímos que 2/3 > 5/8.

Exemplos Resolvidos com Números Racionais

1. Módulo de um Número Racional:

• Exemplo: Calcule o módulo de -3/5.

• Resolução: O módulo de um número racional é a sua distância até o zero. Portanto, |-3/5| = 3/5.

2. Comparação de Números Racionais:

• Exemplo: Compare os números racionais 2/3 e 5/8.

• Resolução: Para comparar, vamos encontrar frações equivalentes com o mesmo denominador (24):

  • 2/3 = 16/24

  • 5/8 = 15/24

• Como 16/24 > 15/24, concluímos que 2/3 > 5/8.

3. Operações com Números Racionais:

• Adição:

  • Exemplo: (1/2) + (3/4) = (2/4) + (3/4) = 5/4

• Subtração:

  • Exemplo: (5/6) - (1/3) = (5/6) - (2/6) = 3/6 = 1/2

• Multiplicação:

  • Exemplo: (2/5) x (3/7) = (2 x 3) / (5 x 7) = 6/35

• Divisão:

  • Exemplo: (4/9) ÷ (2/3) = (4/9) x (3/2) = 12/18 = 2/3

4. Representação Decimal de Números Racionais:

• Exemplo: Escreva o número racional 7/4 na forma decimal.

• Resolução: Dividindo 7 por 4, obtemos 1,75.

5. Representação Fracionária de Números Decimais:

• Exemplo: Escreva o número decimal 0,8 na forma de fração.

• Resolução: 0,8 = 8/10 = 4/5

6. Problemas com Números Racionais:

• Exemplo: João gastou 3/4 do seu salário com aluguel e 1/5 com alimentação. Que fração do salário ele ainda tem?

• Resolução: Primeiro, somamos as frações que representam os gastos: 3/4 + 1/5 = 19/20. Em seguida, subtraímos essa fração de 1 (que representa o salário inteiro): 1 - 19/20 = 1/20. Portanto, João ainda tem 1/20 do seu salário.

Aprofunde mais com exemplos 

Módulo de um Número Racional

Exemplo 1: Calcule o módulo de -7/3.

Resolução: O módulo de -7/3 é a sua distância até o zero, ou seja, | -7/3 | = 7/3.

Resposta: 7/3.

Problematização: Calcule o módulo de -11/4.

Resolução: O módulo de -11/4 é 11/4.

Resposta: 11/4.

Comparação de Números Racionais

Exemplo 2: Compare os números racionais 4/7 e 5/9.

Resolução: Transformamos as frações para terem o mesmo denominador, que no caso é 63:

4/7 = 36/63 e 5/9 = 35/63.

Como 36/63 > 35/63, concluímos que 4/7 é maior que 5/9.

Resposta: 4/7 > 5/9.

Problematização: Compare 3/5 e 2/3.

Resolução: Transformamos as frações para terem o mesmo denominador, que no caso é 15:

3/5 = 9/15 e 2/3 = 10/15.

Como 9/15 < 10/15, concluímos que 3/5 é menor que 2/3.

Resposta: 3/5 < 2/3.

Operações com Números Racionais

Adição:

Exemplo 3: Some 2/3 e 4/5.

Resolução: Encontramos um denominador comum, que no caso é 15:

2/3 = 10/15 e 4/5 = 12/15.

Somando, temos 10/15 + 12/15 = 22/15.

Resposta: 22/15.

Problematização: Some 7/8 e 1/2.

Resolução: Encontramos um denominador comum, que no caso é 8:

1/2 = 4/8.

Somando, temos 7/8 + 4/8 = 11/8.

Resposta: 11/8.

Subtração:

Exemplo 4: Subtraia 3/4 de 5/6.

Resolução: Encontramos um denominador comum, que no caso é 12:

3/4 = 9/12 e 5/6 = 10/12.

Subtraindo, temos 10/12 - 9/12 = 1/12.

Resposta: 1/12.

Problematização: Subtraia 1/3 de 7/9.

Resolução: Encontramos um denominador comum, que no caso é 9:

1/3 = 3/9.

Subtraindo, temos 7/9 - 3/9 = 4/9.

Resposta: 4/9.

Multiplicação:

Exemplo 5: Multiplique 5/8 por 3/4.

Resolução: Multiplicamos os numeradores e os denominadores:

5/8 x 3/4 = (5 x 3) / (8 x 4) = 15/32.

Resposta: 15/32.

Problematização: Multiplique 2/7 por 6/5.

Resolução: Multiplicamos os numeradores e os denominadores:

2/7 x 6/5 = (2 x 6) / (7 x 5) = 12/35.

Resposta: 12/35.

Divisão:

Exemplo 6: Divida 3/5 por 4/7.

Resolução: Multiplicamos o primeiro número pela inversa do segundo:

3/5 ÷ 4/7 = 3/5 x 7/4 = (3 x 7) / (5 x 4) = 21/20.

Resposta: 21/20.

Problematização: Divida 9/10 por 3/2.

Resolução: Multiplicamos o primeiro número pela inversa do segundo:

9/10 ÷ 3/2 = 9/10 x 2/3 = (9 x 2) / (10 x 3) = 18/30 = 3/5.

Resposta: 3/5.

Representação Decimal de Números Racionais

Exemplo 7: Escreva 5/8 na forma decimal.

Resolução: Dividimos 5 por 8, resultando em 0,625.

Resposta: 0,625.

Problematização: Escreva 11/4 na forma decimal.

Resolução: Dividimos 11 por 4, resultando em 2,75.

Resposta: 2,75.

Representação Fracionária de Números Decimais

Exemplo 8: Escreva 0,6 na forma de fração.

Resolução: 0,6 = 6/10, que pode ser simplificada para 3/5.

Resposta: 3/5.

Problematização: Escreva 0,125 na forma de fração.

Resolução: 0,125 = 125/1000, que pode ser simplificada para 1/8.

Resposta: 1/8.

Problemas com Números Racionais

Exemplo 9: Ana gastou 2/3 do seu dinheiro em roupas e 1/6 em comida. Que fração do dinheiro ela ainda tem?

Resolução: Somamos as frações que representam os gastos:

2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6.

Subtraímos essa fração de 1 (que representa o dinheiro inteiro):

1 - 5/6 = 1/6.

Resposta: 1/6.

Problematização: Pedro gastou 3/5 do seu tempo estudando e 1/4 descansando. Que fração do tempo ele ainda tem?

Resolução: Somamos as frações que representam os gastos:

3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/20 = 17/20.

Subtraímos essa fração de 1 (que representa o tempo inteiro):

1 - 17/20 = 3/20.

Resposta: 3/20.

PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR 

1. Calcule o módulo de -7/4 e explique o conceito de módulo em números racionais.**

2. Qual é maior, 5/6 ou 3/4?

   a) 5/6  

   b) 3/4  

   c) São iguais  

   d) Não é possível determinar

3. Some 2/5 e 3/10. Mostre cada etapa do cálculo.

4. Subtraia 2/3 de 5/6.

   a) 1/18  

   b) 1/6  

   c) 1/3  

   d) 1/2

5. Multiplique 7/8 por 2/3 e explique como a regra da multiplicação de frações foi aplicada.

6. Divida 4/9 por 2/3.

   a) 2/3  

   b) 8/27  

   c) 6/9  

   d) 2/9

7. Escreva o número racional 9/5 na forma decimal e explique o processo utilizado.

8. Qual é a fração equivalente ao número decimal 0,2? 

   a) 2/10  

   b) 1/5  

   c) 1/2  

   d) 2/5

9. João gastou 3/4 do seu dinheiro em livros e 1/8 em transporte. Que fração do dinheiro ele ainda tem? Explique como encontrou a resposta.

10. Compare as frações 7/9 e 5/6. Qual delas é maior?

    a) 7/9  

    b) 5/6  

    c) São iguais  

    d) Não é possível determinar