Cálculo Algébrico

Expressões Algébricas

Expressões algébricas são combinações de números, letras (variáveis) e operações matemáticas. As letras representam valores desconhecidos ou que podem variar.

Exemplos:

• 3x + 5

• 2y² - 4y + 1

• a/b

Simplificação de Expressões Algébricas

Simplificar uma expressão algébrica significa reescrevê-la de forma mais compacta, utilizando propriedades matemáticas e operações como fatoração, redução de termos semelhantes e cancelamento de termos.

Exemplo:

Simplificando a expressão 2x + 3x - 5, obtemos 5x - 5.

Fórmulas

Fórmulas são expressões algébricas que representam relações entre grandezas. Elas são utilizadas para calcular valores desconhecidos a partir de valores conhecidos.

Exemplo:

A fórmula para calcular a área de um retângulo é A = b.h, onde A é a área, b é a base e h é a altura.

Sequências

Sequências são conjuntos ordenados de números que seguem um padrão.

Exemplos:

• 1, 3, 5, 7, 9... (sequência dos números ímpares)

• 2, 4, 8, 16, 32... (sequência das potências de 2)

Sequências Definidas por Recorrência

Uma sequência definida por recorrência é aquela em que cada termo é obtido a partir dos termos anteriores, seguindo uma regra específica.

Exemplo:

A sequência de Fibonacci é definida por recorrência:

• a₁ = 1

• a₂ = 1

• aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (para n > 2)

Igualdades

Uma igualdade matemática é uma afirmação de que duas expressões representam o mesmo valor.

Exemplo:

2x + 3 = 7

Equações

Uma equação é uma igualdade que contém uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos). Resolver uma equação significa encontrar os valores das incógnitas que tornam a igualdade verdadeira.

Exemplo:

2x + 3 = 7

Resolvendo a equação, encontramos x = 2.

Exemplos Resolvidos 

1. Simplificação de expressões algébricas:

• Exemplo: Simplifique a expressão 3x + 5y - 2x + y.

• Resolução: Para simplificar, agrupamos os termos semelhantes:

• 3x - 2x + 5y + y = x + 6y

• Resposta: A expressão simplificada é x + 6y.

2. Fórmulas:

• Exemplo: Calcule a área de um triângulo cuja base mede 8 cm e a altura mede 5 cm.

• Resolução: A fórmula da área de um triângulo é A = (b * h) / 2, onde b é a base e h é a altura. Substituindo os valores, temos:

• A = (8 cm * 5 cm) / 2 = 20 cm²

• Resposta: A área do triângulo é 20 cm².

3. Sequências definidas por recorrência:

• Exemplo: Encontre os quatro primeiros termos da sequência definida por:

  • a₁ = 2

  • aₙ = 3aₙ₋₁ - 1 (para n > 1)

• Resolução: Para encontrar os termos, aplicamos a regra da recorrência:

  • a₁ = 2

  • a₂ = 3a₁ - 1 = 3 * 2 - 1 = 5

  • a₃ = 3a₂ - 1 = 3 * 5 - 1 = 14

  • a₄ = 3a₃ - 1 = 3 * 14 - 1 = 41

• Resposta: Os quatro primeiros termos da sequência são 2, 5, 14 e 41.

4. Equações:

• Exemplo: Resolva a equação 5x - 7 = 13.

• Resolução: Para resolver a equação, isolamos o termo com x:

  • 5x = 13 + 7

  • 5x = 20

  • x = 20 / 5

  • x = 4

• Resposta: A solução da equação é x = 4.

PRATIQUE EM SEU CADERNO E LEVE AO SEU PROFESSOR:

1. Simplifique a expressão 4x + 2y - x + 3y.

   a) 3x + 5y  

   b) 5x + 5y  

   c) 3x + 2y  

   d) 2x + 3y

2. Calcule a área de um retângulo cuja base mede 10 cm e a altura mede 4 cm usando a fórmula A = b * h.

3. Encontre os três primeiros termos da sequência definida por:

   a₁ = 3  

   aₙ = 2aₙ₋₁ + 1 (para n > 1)  

   a) 3, 7, 15  

   b) 3, 9, 19  

   c) 3, 6, 13  

   d) 3, 7, 17

4. Resolva a equação 3x + 5 = 14 e explique cada etapa do processo.

5. Qual é a expressão simplificada de 6a + 2b - 4a + 3b? 

   a) 2a + 5b  

   b) 10a + 5b  

   c) 2a + b  

   d) 10a + b

6. Calcule a área de um triângulo cuja base mede 6 cm e a altura mede 8 cm usando a fórmula A = (b * h) / 2.

7. Encontre os quatro primeiros termos da sequência definida por:

   a₁ = 1  

   aₙ = 2aₙ₋₁ + 2 (para n > 1)  

   a) 1, 4, 10, 22  

   b) 1, 3, 7, 15  

   c) 1, 4, 8, 16  

   d) 1, 5, 11, 23

8. Resolva a equação 4x - 9 = 7 e explique como isolou o valor de x.

9. Simplifique a expressão 5m - 3n + 4m - 2n.

   a) 9m - 5n  

   b) m - 5n  

   c) 9m + 5n  

   d) m + 5n

10. Calcule a área de um quadrado com lado de 5 cm usando a fórmula A = l².